Mục lục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương pháp chung:
– Trước hết ta nhận xét rằng đa thức đó không thể phân tích thành nhân tử bằng phương pháp đặt thành nhân tử chung (PP1), dùng hằng đẳng thức đáng nhớ (PP2). Khi đó ta nghĩ đến phân tích đa thức thành nhân nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử (PP3)
– Ta nhận xét để tìm cách nhóm các hạng tử một cách cách thích hợp (có thể giao hoán các hạng tử để nhóm sao cho sau khi nhóm từng nhóm đa thức có thể phân tích được thành nhân tử bằng PP1, PP2 và khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.
– Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $2 x y+3 z+6 y+x z$
B1: Ta nhận thấy rằng đa thức không thể phân tích bằng PP1 hoặc PP2. Ta nghĩ đến dùng PP3
B2: Ta thấy rằng cần giao hoán các hạng tử để có cách nhóm thích hợp. Đó là:
$2 x y+3 z+6 y+z y=2 x y+6 y+3 z+x z$
$=(2 x y+6 y)+(3 z+x z)=2 y(x+3)+z(x+3)=(x+3)(2 y+z)$$2 x y+3 z+6 y+z y=2 x y+6 y+3 z+x
2. Chú ý:
Đối với một đa thức ta có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối cùng (đến khi nào không thể còn phân tích được nữa)
Dù phân tích bằng cách nào thì kết quả cũng là duy nhất.
Khi nhóm các hạng tử thì phải chú ý dấu của đa thức.
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử:
a) $x y-5 y+2 x-10$
b) $2 x y+z+2 x+y z$
c) $x^{2}+2 x+1-y^{2}$
Bài giải:
a) $x y-5 y+2 x-10$
$=(x y-5 y)+(2 x-10)$
$=y(x-5)+2(x-5)$
$=(x-5)(y+2)$
b) $2 x y+z+2 x+y z$
$=(2 x y+2 x)+(z+y z)$
$=2 x(y+1)+z(y+1)$
$=(y+1)(2 x+z)$
c) $x^{2}+2 x+1-y^{2}$
$=\left(x^{2}+2 x+1\right)-y^{2}$
$=(x+1)^{2}-y^{2}$
$=(x+1+y)(x+1-y)$
Ví dụ 2: Tìm $y$, biết $y(y-4)+y-4=0$.
Bài giải:
$\Leftrightarrow y(y-4)+(y-4)=0$
$\Leftrightarrow(y-4)(y+1)=0$
$\Leftrightarrow y-4=0$ và $y+1=0$
$\Leftrightarrow$ $y=4$ và $y=-1$
Vậy $x=4$ hoặc $y=-1$.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) $x^{3}-2 x^{2}+2 x-4$
b) $x^{2}+x y+5 x+5 y$
Bài giải:
a) $x^{3}-2 x^{2}+2 x-4=x^{2}(x-2)+2(x-2)=(x-2)\left(x^{2}+2\right)$
b) $x^{2}+x y+5 x+5 y=x(x+y)+5(x+y)=(x+y)(x+5)$
Bài 2: Tìm $2 x(x-7)+5 x-35=0$, biết:
a) $x^{3}-2 x^{2}+x-2=0$
b) $0 \cdot $
Bài giải:
a)
$\Leftrightarrow 2 x(x-7)+5(x-7)=0$
$\Leftrightarrow(x-7)(2 x+5)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-7=0 \\ 2 x+5=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=7 \\ x=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$
Vậy các giá trị x cần tìm là: $x \in\left\{-\frac{5}{2} ; 7\right\}$.
b) $x^{3}-2 x^{2}+x-2=0$
$\Leftrightarrow x^{2}(x-2)+x-2=0$
$\Leftrightarrow(x-2)\left(x^{2}+1\right)=0$
Do $x^{2}+1>0$ $\forall x$ nên $(x-2)\left(x^{2}+1\right)=0 \Leftrightarrow x-2=0 \Leftrightarrow x=2$
Vậy các giá trị $x$ cần tìm là: $x=2\cdot $
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) $x^{2}-8 x+16-y^{2}$
b) $x^{2}-y^{2}+z^{2}-t^{2}-2 x z+2 y t$
Bài giải:
a) $x^{2}-8 x+16-y^{2}=(x-4)^{2}-y^{2}=(x-4-y)(x-4+y)$
b) $x^{2}-y^{2}+z^{2}-t^{2}-2 x z+2 y t$
$=\left(x^{2}-2 x z+z^{2}\right)-\left(y^{2}-2 y t+t^{2}\right)$
$=(x-z)^{2}-(y-t)^{2}$
$=(x-z-y+t)(x-z+y-t)$
Bài 2: Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $x y-5 x+2 y-10=31$.
Bài giải:
Ta có $x y-5 x+2 y-10=31$
$\Leftrightarrow y(x+2)-5(x+2)=31$
$\Leftrightarrow(x+2)(y-5)=31$
Vì $x, y$ nguyên nên $(x+2)$ và $(y-5)$ cũng nguyên và là ước của $31$.
Mà $31=1\cdot 31=(-1) \cdot(-31)$. Khi đó ta xét các trường hợp:
TH1: $\left\{\begin{array}{l}x+2=1 \\ y-5=31\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=36\end{array}\right.\right.$
TH2: $\left\{\begin{array}{l}x+2=31 \\ y-5=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=29 \\ y=6\end{array}\right.\right.$
TH3: $\left\{\begin{array}{l}x+2=-1 \\ y-5=-31\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-3 \\ y=-26\end{array}\right.\right.$
TH4: $\left\{\begin{array}{l}x+2=-31 \\ y-5=-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-33 \\ y=4\end{array}\right.\right.$
Vậy có 4 cặp số nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là:
$(-1 ; 36),(29 ; 6),(-3 ;-26),(-33 ; 4)$