Mục lục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức thành một tích của những đa thức.
Ví dụ: Phân tích đa thức $3 x^{2}-6 x$ thành nhân tử.
Ta có: $3 x^{2}-6 x=3 x(x-2)$
2. Ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử
Việc phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều lợi ích giúp chúng ta rút gọn được biểu thức, tính nhanh, giải phương trình
3. Các phương pháp phân tích thành nhân tử cơ bản thường gặp
– Phương pháp đặt nhân tử chung.
– Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
– Phương pháp nhóm hạng tử.
– Phối hợp nhiều phương pháp.
Ngoài ra còn có những phương pháp đặc biệt hơn như: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử vào đa thức, phương pháp tách hạng tử…
4. Phương pháp đặt nhân tử chung
– Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung
– Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung
5. Chú ý
Nhiều khi cần đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ: $2 x(x-y)+(y-x)=2(x-y)-(x-y)=(x-y)(2 x-1) .$
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) $x^{2}-x$
b) $5 x^{2}(x-2 y)-15 x(x-2 y)$
Bài giải:
a) $x^{2}-x=x(x-1)$
b) $5 x^{2}(x-2 y)-15 x(x-2 y)$
$=5 x \cdot x(x-2 y)-5 x \cdot 3(x-2 y)$
$=5 x(x-2 y)(x-3)$
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a) $3 x^{2}-6 x=1$
b) $2 x(x-3)+5(x-3)=0$
Bài giải:
Hướng dẫn $A \cdot B=0 \Leftrightarrow A=0$ và $B=0$.
a) Ta có: $3 x^{2}-6 x=0$
$\Leftrightarrow 3 x(x-2)=0$
$\Leftrightarrow 3 x=0$ hoặc $x-2=0$
$\Leftrightarrow $ $x=0$ hoặc $x=2$
Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=0$ hoặc $x=2$.
b) $2 x(x-3)+5(x-3)=0$
$\Leftrightarrow(x-3)(2 x+5)=0$
$\Leftrightarrow x-3=0$ hoặc $2 x+5=0$
$x=3$ và $\displaystyle x=\frac{-5}{2}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=3$ hoặc $\displaystyle x=\frac{-5}{2}$.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) $4 x-8 x y$
b) $x y+3 x^{2} y$
c) $4 a^{2} b^{3}-6 a^{3} b^{2}$
d) $4 a^{4} b^{3}+2 a b^{2}$
Bài giải:
a) $4 x-8 x y=4 x(1-2 y)$
b) $x y+3 x^{2} y=x y(1+3 x)$
c) $4 a^{2} b^{3}-6 a^{3} b^{2}=2 a^{2} b^{2}(2 b-3 a)$
d) $4 a^{4} b^{3}+2 a b^{2}=2 a b^{2}\left(2 a^{3} b+1\right)$
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) $5(a+b)-x(a+b)$
b) $\left(12 x^{2}+6 x\right)(y+z)+\left(12 x^{2}+6 x\right)(y-z)$
Bài giải:
a) $5(a+b)-x(a+b)=(a+b)(5-x)$
b) $\left(12 x^{2}+6 x\right)(y+z)+\left(12 x^{2}+6 x\right)(y-z)$
$=\left(12 x^{2}+6 x\right) \cdot(y+z+y-z)$
$=6 x(2 x+1) \cdot(2 y)$
$=12 x y(2 x+1)$
BÀI TẬP NÂNG CAO
a) $x(x+7)=4 x+28$
b) $x^{3}-x=0$
Bài giải:
a) $x(x+7)=4 x+28$
$\Leftrightarrow x(x+7)-(4 x+28)=0$
$\Leftrightarrow x(x+7)-4(x+7)=0$
$\Leftrightarrow(x+7)(x-4)=0$
$\Leftrightarrow(x-4)(x+7)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=4 \\ x=-7\end{array}\right.$
b) $x^{3}-x=0$
$\Leftrightarrow x\left(x^{2}-1\right)=0$
$\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x-1=0 \\ x+1=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=1 \\ x=-1\end{array}\right.$
Vậy các giá trị của $x$ cần tìm là: $x \in\{-1 ; 0 ; 1\}$
Bài 2: Chứng minh rằng: $B=27^{5}-3^{11}$ chia hết cho 80 .
Bài giải:
$\mathrm{B}=27^{5}-3^{11}=\left(3^{3}\right)^{5}-3^{11}=3^{15}-3^{11}=3^{11}\left(3^{4}-1\right)=3^{11} \cdot 80$
Suy ra $ B\vdots 8$.