Bộ bài tập gồm 20 bài phân tích đa thức thành nhân tử, chia thành hai mức cơ bản và nâng cao. Phần lời giải chỉ rõ phương pháp được dùng ở từng bài để học sinh có thể đối chiếu cách biến đổi.
PHẦN I: CƠ BẢN (10 Bài)
Mục tiêu: Rèn luyện các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử cơ bản.
- \(5x – 20y\)
- \(x^2 + 4x\)
- \(x(x – y) + 3(x – y)\)
- \(x^2 – 16\)
- \(x^2 – 10x + 25\)
- \(8x^3 – 27\)
- \(x^3 – 4x\)
- \(x^2 – xy + 2x – 2y\)
- \(x^2 – 2xy + y^2 – 9\)
- \(3x^2 – 6x + 3\)
PHẦN II: NÂNG CAO (10 Bài)
Mục tiêu: Rèn luyện phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ và phối hợp nhiều phương pháp.
- \(x^2 – 7x + 12\)
- \(2x^2 + 5x – 3\)
- \(x^4 + 4\)
- \((x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) – 12\)
- \(x^5 + x + 1\)
- \(x^4 – 5x^2 + 4\)
- \((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24\)
- \(x^3 – 19x – 30\)
- \(a^2(b – c) + b^2(c – a) + c^2(a – b)\)
- \((a + b + c)^3 – a^3 – b^3 – c^3\)
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: \(5x – 20y\)
Đặt 5 làm nhân tử chung:
\(= 5(x – 4y)\)
Bài 2: \(x^2 + 4x\)
Đặt x làm nhân tử chung:
\(= x(x + 4)\)
Bài 3: \(x(x – y) + 3(x – y)\)
Đặt đa thức (x – y) làm nhân tử chung:
\(= (x – y)(x + 3)\)
Bài 4: \(x^2 – 16\)
Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
\(= x^2 – 4^2 = (x – 4)(x + 4)\)
Bài 5: \(x^2 – 10x + 25\)
Dùng hằng đẳng thức bình phương một hiệu:
\(= x^2 – 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x – 5)^2\)
Bài 6: \(8x^3 – 27\)
Dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:
\(= (2x)^3 – 3^3\)
\(= (2x – 3)[(2x)^2 + 2x \cdot 3 + 3^2]\)
\(= (2x – 3)(4x^2 + 6x + 9)\)
Bài 7: \(x^3 – 4x\)
Đặt nhân tử chung x, sau đó dùng hằng đẳng thức:
\(= x(x^2 – 4) = x(x – 2)(x + 2)\)
Bài 8: \(x^2 – xy + 2x – 2y\)
Nhóm hạng tử:
\(= (x^2 – xy) + (2x – 2y)\)
\(= x(x – y) + 2(x – y)\)
\(= (x – y)(x + 2)\)
Bài 9: \(x^2 – 2xy + y^2 – 9\)
Nhóm 3 hạng tử đầu tạo hằng đẳng thức, sau đó dùng hiệu hai bình phương:
\(= (x^2 – 2xy + y^2) – 9\)
\(= (x – y)^2 – 3^2\)
\(= (x – y – 3)(x – y + 3)\)
Bài 10: \(3x^2 – 6x + 3\)
Đặt 3 ra ngoài, bên trong là hằng đẳng thức:
\(= 3(x^2 – 2x + 1) = 3(x – 1)^2\)
Bài 11: \(x^2 – 7x + 12\)
Tách hạng tử giữa: \(-7x = -3x – 4x\)
\(= x^2 – 3x – 4x + 12\)
\(= x(x – 3) – 4(x – 3)\)
\(= (x – 3)(x – 4)\)
Bài 12: \(2x^2 + 5x – 3\)
Tách hạng tử giữa: \(5x = 6x – x\)
\(= 2x^2 + 6x – x – 3\)
\(= 2x(x + 3) – (x + 3)\)
\(= (x + 3)(2x – 1)\)
Bài 13: \(x^4 + 4\)
Thêm bớt \(4x^2\) (Phương pháp Sophie Germain):
\(= x^4 + 4x^2 + 4 – 4x^2\)
\(= (x^2 + 2)^2 – (2x)^2\)
\(= (x^2 – 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\)
Bài 14: \((x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) – 12\)
Đặt \(t = x^2 + x\), đa thức trở thành: \(t^2 + 4t – 12 = (t – 2)(t + 6)\)
Thay lại t:
\(= (x^2 + x – 2)(x^2 + x + 6)\)
\(= (x – 1)(x + 2)(x^2 + x + 6)\)
Bài 15: \(x^5 + x + 1\)
Thêm bớt \(x^2\):
\(= x^5 – x^2 + x^2 + x + 1\)
\(= x^2(x^3 – 1) + (x^2 + x + 1)\)
\(= x^2(x – 1)(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1)\)
\(= (x^2 + x + 1)(x^3 – x^2 + 1)\)
Bài 16: \(x^4 – 5x^2 + 4\)
Đặt \(t = x^2 \Rightarrow t^2 – 5t + 4 = (t – 1)(t – 4)\)
Thay lại t:
\(= (x^2 – 1)(x^2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)\)
Bài 17: \((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24\)
Nhóm \((x+1)(x+4)\)và\((x+2)(x+3)\):
\(= (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) – 24\)
Đặt \(t = x^2 + 5x + 5 \Rightarrow (t-1)(t+1) – 24 = t^2 – 25 = (t-5)(t+5)\)
Thay lại t:
\(= (x^2 + 5x)(x^2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x^2 + 5x + 10)\)
Bài 18: \(x^3 – 19x – 30\)
Nhẩm nghiệm \(x = -2\), tách hạng tử:
\(= x^3 + 2x^2 – 2x^2 – 4x – 15x – 30\)
\(= x^2(x + 2) – 2x(x + 2) – 15(x + 2)\)
\(= (x + 2)(x^2 – 2x – 15)\)
\(= (x + 2)(x – 5)(x + 3)\)
Bài 19: \(a^2(b – c) + b^2(c – a) + c^2(a – b)\)
Thay \(c – a = -(a – b) – (b – c)\), khai triển và nhóm nhân tử chung:
\(= (a – b)(b – c)(c – a)\)
Bài 20: \((a + b + c)^3 – a^3 – b^3 – c^3\)
Nhóm và dùng hằng đẳng thức lập phương:
\(= [(a + b) + c]^3 – a^3 – b^3 – c^3\)
\(= 3(a + b)(b + c)(c + a)\)
Xem thêm Chuyên đề Đại số THCS để hệ thống lại kiến thức và luyện các dạng bài liên quan.