Mục lục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng $\displaystyle\frac{A}{B}$, trong đó $A$, $B$ là những đa thức và $B \neq 0$
– $A, B$ là những đa thức và $B \neq 0$.
– $B$ được gọi là mẫu thức.
Đặc biệt: Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
2. Hai phân thức bằng nhau
Cho hai phân thức $\displaystyle\frac{A}{B}$ và $\displaystyle\frac{C}{D}$ $(B, D \neq 0)$
Ta nói: $\displaystyle\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ nếu $A \cdot D=B \cdot C$
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, xem xét các biểu thức sau đây, biểu thức nào được gọi là phân thức. Vì sao?
$\displaystyle\frac{x}{5} ;$ $\displaystyle\frac{x^{y}-2 x y+y^{2}}{x-y} ;$ $x-1 ;$ $-3 ;$ $\displaystyle\frac{x+1}{\frac{1}{x^{2}} ;}$
Bài giải:
- Theo định nghĩa phân thức đại số, các biểu thức sau đây là những phân thức: $\displaystyle\frac{x}{5}$; $\displaystyle\frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{x-y} ;$ $x-1 ;$ $-3 ;$
- Theo định nghĩa, biểu thức $\displaystyle\frac{x+1}{\frac{1}{x^{2}}}$không phải là phân thức đại số bởi vì: $\displaystyle\frac{1}{x^{2}}$ không phải là một đa thức
Ví dụ 2: Bạn An bảo rằng: $\displaystyle\frac{3 x+3}{3 x}=3$ Còn bạn Mai thì nói: $\displaystyle\frac{3 x+3}{3 x}=\frac{x+1}{x}$ Theo em ai nói đúng?
Bài giải:
- Bạn Mai nói đúng: Thật vậy, $3 x+3=3(x+1)$$\displaystyle\Rightarrow \frac{3 x+3}{3 x}=\frac{x+1}{x}$ (dpcm)
- Bạn An nói sai. Thật vậy: $(3 x+3) \cdot 1=3 x+3 \neq 3\cdot 3 x=9 x$hay $\displaystyle\frac{3 x+3}{3 x} \neq 3$
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Với điều kiện các phân thức đều xác định, hãy dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
a) $\displaystyle\frac{5}{3 x}=\frac{20 x y}{12 x^{2} y}$
b) $\displaystyle\frac{a+3 b}{c}=\frac{a c+3 b c}{c^{2}}$
Bài giải:
a) Ta có
$5\cdot 12 x^{2} y=60 x^{2} y$;
$3 x \cdot 20 x y=60 x^{2} y$
Do đó $5\cdot 12 x^{2} y=3 x \cdot 20 x y$. Vậy $\displaystyle\frac{5}{3 x}=\frac{20 x y}{12 x^{2} y}$.
b) Ta có
$(a+3 b) \cdot c^{2}=a c^{2}+3 b c^{2}$;
$c(a c+3 b c)=c \cdot a c+c \cdot 3 b c=a c^{2}+3 b c^{2}$
Do đó $(a+3 b) \cdot c^{2}=c \cdot(a c+3 b c)$. Vậy $\displaystyle\frac{a+3 b}{c}=\frac{a c+3 b c}{c^{2}}$.
Bài 2: Chứng minh rằng $\displaystyle\frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}+4 x+4}=\frac{x+3}{x+2}$ với $x \neq-2 \cdot $
Bài giải:
Ta có:
$\displaystyle\left(x^{2}+5 x+6\right)(x+2)=x\left(x^{2}+5 x+6\right)+2\left(x^{2}+5 x+6\right)=x^{3}+7 x^{2}+16 x+12$
$\displaystyle\left(x^{2}+4 x+4\right)(x+3)=x\left(x^{2}+4 x+4\right)+3\left(x^{2}+4 x+4\right)=x^{3}+7 x^{2}+16 x+12$
Do đó $\displaystyle\left(x^{2}+5 x+6\right)(x+2)=\left(x^{2}+4 x+4\right)(x+3)$.
Vậy $\displaystyle\frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}+4 x+4}=\frac{x+3}{x+2}$.
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Tìm đa thức A, biết $\displaystyle\frac{A}{m-3}=\frac{m-2}{3-m}$ với $m \neq 3 \cdot $
Bài giải:
Theo đề bài ta có:
Với $m \neq 3$ thì $(3-m)=(m-3)(m 2)$
$\displaystyle\Rightarrow A=\frac{(m-3)(m-2)}{3-m}=\frac{(m-3)(2-m)}{m-3}=2-m$.
Bài 2: Tìm đa thức A, biết $\displaystyle\frac{4 x^{2}-4 x y+y^{2}}{y^{2}-4 x^{2}}=\frac{A}{2 x+y}$
Bài giải:
Ta có $\displaystyle\left(4 x^{2}-4 x y+y^{2}\right) \cdot(2 x+y)=\left(y^{2}-4 x^{2}\right) A$
Xét $\displaystyle\left(4 x^{2}-4 x y+y^{2}\right) .(2 x+y)=(2 x-y)^{2} \cdot(2 x+y)=(2 x-y)(2 x-y)(2 x+y)$
$=(2 x-y)\left(4 x^{2}-y^{2}\right)=(y-2 x)\left(y^{2}-4 x^{2}\right)$
Vậy $A=y-2 x \cdot $