Những hằng đẳng thức đáng nhớ

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các hằng đẳng thức đáng nhớ

1. $(A+B)^{2}=A^{2}+2 \cdot A \cdot B+B^{2}$

2. $(A-B)^{2}=A^{2}-2 . A \cdot B+B^{2}$

3. $(A)^{2}-(B)^{2}=(A+B)(A-B)$

4. $(A+B)^{3}=A^{3}+3 A^{2} B+3 A B^{2}+B^{3}$

5. $(A-B)^{3}=A^{3}-3 A^{2} B+3 A B^{2}-B^{3}$

6. $A^{3}+B^{3}=(A+B)\left(A^{2}-A B+B^{2}\right)$

7. $A^{3}-B^{3}=(A-B)\left(A^{2}+A B+B^{2}\right)$

8. $(A+B+C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2 A B+2 A C+2 B C$

9. $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} \cdot b+\ldots+a \cdot b^{n-2}+b^{n-1}\right)$

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Khai triển các hằng đẳng thức sau:
a) $(x+8)^{2}=\ldots$

b) $(2 x-5)^{2}=\ldots$

Bài giải:

a) $(x+8)^{2}=x^{2}+2 . x .8+8^{2}=x^{2}+16 x+64$.

b) $(2 x-5)^{2}=(2 x)^{2}-2.2 x .5+5^{2}=4 x^{2}-20 x+25$.

Ví dụ 2: Tính:

a) $(2 x-5 y)(2 x+5 y)$

b) $\displaystyle\left(2 x-\frac{1}{3}\right)\left(2 x+\frac{1}{3}\right)$

Bài giải:

a) $(2 x-5 y)(2 x+5 y)=(2 x)^{2}-(5 y)^{2}=4 x^{2}-25 y^{2}$.

b) $\displaystyle\left(2 x-\frac{1}{3}\right)\left(2 x+\frac{1}{3}\right)=(2 x)^{2}-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=4 x^{2}-\frac{1}{9}$

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng hằng đẳng thức:

a) $4 x^{2}+12 x y+9 y^{2}$

b) $\displaystyle x^{2}-\frac{1}{2} x+\frac{1}{16}$

Bài giải:

a) $(2 x)^{2}+2 \cdot(2 x) \cdot(3 y)+(3 y)^{2}=(2 x+3 y)^{2}$

b) $\displaystyle x^{2}-2 \cdot \frac{1}{4} \cdot x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}$

Bài 2: Điền các giá trị phù hợp vào chỗ chấm:

a) $\displaystyle x^{2}+8 x y+\ldots=(\ldots+4 y)^{2}$

b) $(\ldots-3 y)(\ldots+3 y)=x^{2}-9 y^{2}$

Bài giải:

a) $\displaystyle x^{2}+8 x y+16 y^{2}=(x+4 y)^{2}$

b) $(x-3 y)(x+3 y)=x^{2}-9 y^{2}$

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Tính nhanh:

a) $101^{2}$

b) $104\cdot 96$

Bài giải:

a) $101^{2}=(100+1)^{2}=100^{2}+2\cdot 100 \cdot 1+1^{2}=10000+200+1=10201$.

b) $104\cdot 96=(100+4)(100-4)=100^{2}-4^{2}=10000-16=9984$.

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực $x$ ta có:

a) $\displaystyle x^{2}+10 x+30>0$

b) $4 x-x^{2}-7<0$

Bài giải:

a) $\displaystyle x^{2}+10 x+30=(x+5)^{2}+5$
Vì $(x+5)^{2} \geq 0$ nên $(x+5)^{2}+5 \geq 0+5=5>0$.

Vậy $\displaystyle x^{2}+10 x+30>0$ với mọi $\displaystyle x$.

b) $4 x-x^{2}-7=-\left(x^{2}-4 x+4\right)-3=-(x-2)^{2}-3$
Vì $-(x-2)^{2} \leq 0$ nên $-(x-2)^{2}-3 \leq 0-3=-3<0$.

Vậy $4 x-x^{2}-7<0$ với mọi $\displaystyle x$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *