Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A. Các hằng đẳng thức đáng nhớ

1. $(A+B)^{2}=A^{2}+2 \cdot A \cdot B+B^{2}$

2. $(A-B)^{2}=A^{2}-2 . A \cdot B+B^{2}$

3. $(A)^{2}-(B)^{2}=(A+B)(A-B)$

4. $(A+B)^{3}=A^{3}+3 A^{2} B+3 A B^{2}+B^{3}$

5. $(A-B)^{3}=A^{3}-3 A^{2} B+3 A B^{2}-B^{3}$

6. $A^{3}+B^{3}=(A+B)\left(A^{2}-A B+B^{2}\right)$

7. $A^{3}-B^{3}=(A-B)\left(A^{2}+A B+B^{2}\right)$

8. $(A+B+C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2 A B+2 A C+2 B C$

9. $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} \cdot b+\ldots+a \cdot b^{n-2}+b^{n-1}\right)$

B. Cần nhớ các phép tính về lũy thừa

1. $a^{n}=a . a \ldots a(n$ thừa số $a)$

2. $a^{0}=1(a \neq 0)$

3. $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$

4. $a^{m}: a^{n} a^{m-n}$

5. $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Áp dụng hằng đẳng thức, hãy viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) $x^{3}+27$

b) $8 x^{3}-1$

c) $27 x^{3}-8 y^{3}$

Bài giải:

a) $x^{3}+27=(x+3)\left(x^{2}-3 x+9\right)$

b) $8 x^{3}-1=(2 x-1)\left(4 x^{2}+2 x+1\right)$

c) $27 x^{3}-8 y^{3}=(3 x-2 y)\left(9 x^{2}+6 x y+4 y^{2}\right)$

Ví dụ 2: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến $x$:

$A=8(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)-(2 x-1)\left(4 x^{2}+2 x+1\right)$

Bài giải:

$A=8 \cdot\left(x^{3}-1\right)-8 x^{3}+1=-7$

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến $x$

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(4 x-7)\left(16 x^{2}+28 x+49\right)$

b) $(3 x+1)\left(9 x^{2}-3 x+1\right)-9 x\left(3 x^{2}-1\right)$

c) $(3 x+2 y)\left(9 x^{2}-6 x y+4 y^{2}\right)-(3 x-4 y)\left(9 x^{2}+12 x y+16 y^{2}\right)$

Bài giải:

a) $(4 x-7)\left(16 x^{2}+28 x+49\right)=64 x^{3}-343$

b) $(3 x+1)\left(9 x^{2}-3 x+1\right)-9 x\left(3 x^{2}-1\right)=27 x^{3}+1-27 x^{3}+9 x=9 x+1$

c) $(3 x+2 y)\left(9 x^{2}-6 x y+4 y^{2}\right)-(3 x-4 y)\left(9 x^{2}+12 x y+16 y^{2}\right)$

$=27 x^{3}+8 y^{3}-27 x^{3}+64 y^{3}=72 y^{3}$

Bài 2: Tìm $x$, biết:

a) $(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)-x(x-4)(x+4)=21$.

b) $\left(4 x^{2}+2 x+1\right)(2 x-1)-4 x\left(2 x^{2}-3\right)=23$.

Bài giải:

a) $(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)-x(x-4)(x+4)=21$

$\Leftrightarrow x^{3}-27-x\left(x^{2}-16\right)=21$

$\Leftrightarrow 16 x-27=21$

$\Leftrightarrow 16 x=48$

$\Leftrightarrow x=3$

Vậy giá trị cần tìm là: $x=3$.

b) $\left(4 x^{2}+2 x+1\right)(2 x-1)-4 x\left(2 x^{2}-3\right)=23$

$\Leftrightarrow 8 x^{3}-1-8 x^{3}+12 x=23$

$\Leftrightarrow 12 x=24$

$\Leftrightarrow x=2$

Vậy giá trị cần tìm là: $x=2$.

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Cho $(x+2 y)\left(x^{2}-2 x y+4 y^{2}\right)=0$ và $(x-2 y)\left(x^{2}+2 x y+4 y^{2}\right)=16$.

Tìm $x$ và $y$.

Bài giải:

Ta có:

$(x+2 y)\left(x^{2}-2 x y+4 y^{2}\right)=0 \Leftrightarrow x^{3}+8 y^{3}=0$          (1)

$(x-2 y)\left(x^{2}+2 x y+4 y^{2}\right)=16 \Leftrightarrow x^{3}-8 y^{3}=16$      (2)

Cộng hai vế tương ứng (1) và (2) ta được: $2 x^{3}=16 \Leftrightarrow x^{3}=8 \Leftrightarrow x=2 \cdot $

Thay $x=2$ vào (1) ta được $8+8 y^{3}=0 \Leftrightarrow y=-1$.

Vậy giá trị cần tìm là: $x=2$ và $y=-1 \cdot $

Bài 2: Cho $x-y=2$, tính giá trị của biểu thức $A=2\left(x^{3}-y^{3}\right)-3(x+y)^{2}$

Bài giải:

$A=2(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)-3\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)$

$A=4\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)-3 x^{2}-6 x y-3 y^{2}$

$A=x^{2}-2 x y+y^{2}=(x-y)^{2}=2^{2}=4$.

Vậy giá trị của $A$ bằng $4 \cdot $

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *