Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương pháp chung

Ta đi tìm hướng giải quyết bài toán bằng cách đọc kỹ đề và rút ra nhận xét, có thể:

– Đặt nhân tử chung

– Hoặc dùng hằng đẳng thức

– Hoặc nhóm nhiều hạng tử

– Hoặc có thể phối hợp các phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:

$x^{2}-2 x y+y^{2}-4=\left(x^{2}-2 x y+y^{2}\right)-4$

$=(x-y)^{2}-2^{2}=(x-y+2)(x-y-2)$

2. Chú ý

Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung, ta nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc ( ) để đa thức trong ( ) đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến cuối cùng khi không còn phân tích được nữa.

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $3 x y^{2}-12 x y+12 x$

b) $x^{2}+2 x y+y^{2}-x z-y z$

c) $4 x^{4}-x^{3}+4 x^{2}-x$

Bài giải:

a) $3 x y^{2}-12 x y+12 x$

$=3 x\left(y^{2}-4 y+4\right)$

$=3 x(y-2)^{2}$

b) $x^{2}+2 x y+y^{2}-x z-y z$

$=\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)-(x z+y z)$

$=(x+y)^{2}-z(x+y)=(x+y)(x+y-z)$

c) $4 x^{4}-x^{3}+4 x^{2}-x$

$=x\left(4 x^{3}-x^{2}+4 x-1\right)$

$=x\left[\left(4 x^{3}-x^{2}\right)+(4 x-1)\right]$

$=x\left[x^{2}(4 x-1)+(4 x-1)\right]$

$=x(4 x-1)\left(x^{2}+1\right)$.

Ví dụ 2: Tìm $x$ biết: $(2 x-3)^{2}-(x+5)^{2}=0$.

Bài giải:

Ta có: $(2 x-3)^{2}-(x+5)^{2}=0$

$\Leftrightarrow[(2 x-3)+(x+5)][(2 x-3)-(x+5)]=0$

$\Leftrightarrow(2 x-3+x+5)(2 x-3-x-5)=0$

$\Leftrightarrow(3 x+2)(x-8)=0$

$\Leftrightarrow 3 x+2=0$ hoặc $x-8=0$

$\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}$ hoặc $x=8$.

Vậy $x=8$ hoặc $x=-\frac{2}{3}$.

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-y^{2}$

b) $2 x-2 y-x^{2}+2 x y-y^{2}$

Bài giải:

a) $x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-y^{2}$

$=x^{2}\left(x^{2}+2 x+1\right)-y^{2}$

$=x^{2}(x+1)^{2}-y^{2}$

$=[x(x+1)-y][x(x+1)+y]$

$=\left(x^{2}+x-y\right)\left(x^{2}+x+y\right)$

b) $2 x-2 y-x^{2}+2 x y-y^{2}$

$=2(x-y)-\left(x^{2}-2 x y+y^{2}\right)$

$=2(x-y)-(x-y)^{2}$

$=(x-y)(2-x+y)$

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $x^{2}+9 x+20$

b) $x^{2}-7 x+10$

c) $x^{2}+9 x+18$

Bài giải:

a) $x^{2}+9 x+20=x^{2}+4 x+5 x+20=x(x+4)+5(x+4)=(x+4)(x+5)$

b) $x^{2}-7 x+10=x^{2}-2 x-5 x+10=x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5)$

c) $x^{2}+9 x+18=x^{2}+3 x+6 x+18=x(x+3)+6(x+3)=(x+3)(x+6)$

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Tìm $x$, biết:

a) $x^{3}-9 x=0$

b) $x^{3}+4 x^{2}+4 x=0$

Bài giải:

a) $x^{3}-9 x=0$
$\Leftrightarrow x\left(x^{2}-9\right)=0$

$\Leftrightarrow x(x-3)(x+3)=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x-3=0 \\ x+3=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=3 \\ x=-3\end{array}\right.$

Vậy các giá trị $x$ là: $x \in\{-3 ; 0 ; 3\}$

b) $x^{3}+4 x^{2}+4 x=0$

$\Leftrightarrow x\left(x^{2}+4 x+4\right)=0$

$\Leftrightarrow x(x+2)^{2}=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x+2=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy các giá trị $x$ cần tìm là: $x \in\{-2 ; 0\}$

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $x^{4}+4$

b) $4 x^{4}+y^{4}$

Bài giải:

a) $x^{4}+4=x^{4}+4 x^{2}+4-4 x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-4 x^{2}=\left(x^{2}+2-2 x\right)\left(x^{2}+2+2 x\right)$

b) $4 x^{4}+y^{4}=4 x^{4}+4 x^{2} y^{2}+y^{4}-4 x^{2} y^{2}=\left(2 x^{2}+y^{2}\right)^{2}-(2 x y)^{2}$

$=\left(2 x^{2}-2 x y+y^{2}\right)\left(2 x^{2}+2 x y+y^{2}\right)$.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *