Mục lục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Về áp dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức cần chú ý:
– Trước tiên phải nhận xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không?
– Nếu có thì áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung
– Nếu không áp dụng được phương pháp đặt thành nhân tử chung thù xem có thể áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử hay không?
– Chú ý: Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức
Ví dụ: $-x^{4} y^{2}-8 x^{2} y-16=-\left(x^{4} y^{2}+8 x^{2} y+16\right)=-\left(x^{2} y+4\right)^{2}$
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) $x^{2}-4 x+4$
b) $1-8 x^{3}$
c) $-4 x^{2}+4 x-1$
Bài giải:
a) $x^{2}-4 x+4$
$=x^{2}-2 . x .2+2 x^{2}=(x-2)^{2}$
b) $1-8 x^{3}$
$=(1)^{3}-(2 x)^{3}$
$=(1-2 x)\left[1^{2}+1.2 x+(2 x)^{2}\right]$
$=(1-2 x)\left(1+2 x+4 x^{2}\right)$
c) $-4 x^{2}+4 x-1$
$=-\left(4 x^{2}-4 x+1\right)$
$=\left[(2 x)^{2}-2.2 x .1+1^{2}\right]$
$=-(2 x-1)^{2}$
Ví dụ 2:
a) Tính nhanh: $105^{2}-25$
b) Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp bằng 11. Tìm hai số ấy.
Bài giải:
a) Tính nhanh: $105^{2}-25$
Ta có: $105^{2}-25=105^{2}-5^{2}=(105+5)(105-5)=110.100=11000$
b) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là $n$ và $n+1$
Theo đề bài, ta có: $(n+1)^{2}-n^{2}=11 \Leftrightarrow n^{2}+2 n+1-n^{2}=11$
$\Leftrightarrow 2 n+1=11 \Leftrightarrow 2 n=10 \Leftrightarrow n=5$
Vậy hai số phải tìm là $5$ và $6$.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) $x^{2}+20 x+100$
b) $4 x^{2}-12 x+9$
c) $x^{3}-12 x^{2}+48 x-64$
d) $8 x^{3}-1$
Bài giải:
a) $x^{2}+20 x+100=x^{2}+2 x \cdot 10+10^{2}=(x+10)^{2}$
b) $4 x^{2}-12 x+9=(2 x)^{2}-2\cdot 2 x \cdot 3+3^{2}=(2 x-3)^{2}$
c) $x^{3}-12 x^{2}+48 x-64=x^{3}-3 x^{2}-4+3 x \cdot 4^{2}-4^{3}=(x-4)^{3}$
d) $8 x^{3}-1=(2 x)^{3}-1=(2 x-1)\left(4 x^{2}+2 x+1\right)$
Bài 2: Tìm $x$, biết: $(3 x-5)^{2}-(x+1)^{2}=0$
Bài giải:
$(3 x-5)^{2}-(x+1)^{2}=0$
$\Leftrightarrow(3 x-5-x-1)(3 x-5+x+1)=0$
$\Leftrightarrow(2 x-6)(4 x-4)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 x-6=0 \\ 4 x-4=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=3 \\ x=1\end{array}\right.$
Vậy các giá trị cần tìm là: $x \in\{1 ; 3\}$
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) $\left(a^{3}-b^{3}\right)+(a-b)^{2}$
b) $\left(y^{3}+8\right)+\left(y^{2}-4\right)$
c) $\displaystyle (2 x+y)^{2}-(2 x+y)+\frac{1}{4}$
d) $a^{4}-b^{2}(2 a-b)^{2}$
Bài giải:
a) $\left(a^{3}-b^{3}\right)+(a-b)^{2}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)+(a-b)^{2}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}+a-b\right)$
b) $\left(y^{3}+8\right)+\left(y^{2}-4\right)=(y+2)\left(y^{2}-2 y+4\right)+(y+2)(y-2)=(y+2)\left(y^{2}-y+2\right)$
c) $\displaystyle (2 x+y)^{2}-(2 x+y)+\frac{1}{4}=\left(2 x+y-\frac{1}{2}\right)^{2}$
d) $a^{4}-b^{2}(2 a-b)^{2}$
$=\left[a^{2}-b(2 a-b)\right]\left[a^{2}+b(2 a-b)\right]$
$=\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)\left(a^{2}+2 a b-b^{2}\right)$
$=(a-b)^{2}\left(a^{2}+2 a b-b^{2}\right)$
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) $(4 n-3)^{2}-(3 n-4)^{2}$ luôn chia hết cho 7 với mọi giá trị nguyên của n.
b) $(5 n-2)^{2}-(2 n-5)^{2}$ luôn chia hết cho 21 với mọi giá trị nguyên của n.
Bài giải:
a) Vì $(4 n-3)^{2}-(3 n-4)^{2}=(4 n-3-3 n+4)(4 n-3+3 n-4)$
$=(n+1)(7 n-7)=7(n+1)(n-1)$
nên $\left[(4 n-3)^{2}-(3 n-4)^{2}\right] \vdots 7$ với mọi giá trị nguyên của n.
b) Vì $(5 n-2)^{2}-(2 n-5)^{2}=(5 n-2-2 n+5)(5 n-2+2 n-5)$
$=(3 n+3)(7 n-7)=21(n+1)(n-1)$
nên $\left[(5 n-2)^{2}-(2 n-5)^{2}\right] \vdots 21$ với mọi giá trị nguyên của n.