KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương pháp chung
Ta đi tìm hướng giải quyết bài toán bằng cách đọc kỹ đề và rút ra nhận xét, có thể:
– Đặt nhân tử chung
– Hoặc dùng hằng đẳng thức
– Hoặc nhóm nhiều hạng tử
– Hoặc có thể phối hợp các phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
$x^{2}-2 x y+y^{2}-4=\left(x^{2}-2 x y+y^{2}\right)-4$
$=(x-y)^{2}-2^{2}=(x-y+2)(x-y-2)$
2. Chú ý
Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung, ta nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc ( ) để đa thức trong ( ) đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến cuối cùng khi không còn phân tích được nữa.
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) $3 x y^{2}-12 x y+12 x$
b) $x^{2}+2 x y+y^{2}-x z-y z$
c) $4 x^{4}-x^{3}+4 x^{2}-x$
Bài giải:
a) $3 x y^{2}-12 x y+12 x$
$=3 x\left(y^{2}-4 y+4\right)$
$=3 x(y-2)^{2}$
b) $x^{2}+2 x y+y^{2}-x z-y z$
$=\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)-(x z+y z)$
$=(x+y)^{2}-z(x+y)=(x+y)(x+y-z)$
c) $4 x^{4}-x^{3}+4 x^{2}-x$
$=x\left(4 x^{3}-x^{2}+4 x-1\right)$
$=x\left[\left(4 x^{3}-x^{2}\right)+(4 x-1)\right]$
$=x\left[x^{2}(4 x-1)+(4 x-1)\right]$
$=x(4 x-1)\left(x^{2}+1\right)$.
Ví dụ 2: Tìm $x$ biết: $(2 x-3)^{2}-(x+5)^{2}=0$.
Bài giải:
Ta có: $(2 x-3)^{2}-(x+5)^{2}=0$
$\Leftrightarrow[(2 x-3)+(x+5)][(2 x-3)-(x+5)]=0$
$\Leftrightarrow(2 x-3+x+5)(2 x-3-x-5)=0$
$\Leftrightarrow(3 x+2)(x-8)=0$
$\Leftrightarrow 3 x+2=0$ hoặc $x-8=0$
$\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}$ hoặc $x=8$.
Vậy $x=8$ hoặc $x=-\frac{2}{3}$.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) $x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-y^{2}$
b) $2 x-2 y-x^{2}+2 x y-y^{2}$
Bài giải:
a) $x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-y^{2}$
$=x^{2}\left(x^{2}+2 x+1\right)-y^{2}$
$=x^{2}(x+1)^{2}-y^{2}$
$=[x(x+1)-y][x(x+1)+y]$
$=\left(x^{2}+x-y\right)\left(x^{2}+x+y\right)$
b) $2 x-2 y-x^{2}+2 x y-y^{2}$
$=2(x-y)-\left(x^{2}-2 x y+y^{2}\right)$
$=2(x-y)-(x-y)^{2}$
$=(x-y)(2-x+y)$
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) $x^{2}+9 x+20$
b) $x^{2}-7 x+10$
c) $x^{2}+9 x+18$
Bài giải:
a) $x^{2}+9 x+20=x^{2}+4 x+5 x+20=x(x+4)+5(x+4)=(x+4)(x+5)$
b) $x^{2}-7 x+10=x^{2}-2 x-5 x+10=x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5)$
c) $x^{2}+9 x+18=x^{2}+3 x+6 x+18=x(x+3)+6(x+3)=(x+3)(x+6)$
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Tìm $x$, biết:
a) $x^{3}-9 x=0$
b) $x^{3}+4 x^{2}+4 x=0$
Bài giải:
a) $x^{3}-9 x=0$
$\Leftrightarrow x\left(x^{2}-9\right)=0$
$\Leftrightarrow x(x-3)(x+3)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x-3=0 \\ x+3=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=3 \\ x=-3\end{array}\right.$
Vậy các giá trị $x$ là: $x \in\{-3 ; 0 ; 3\}$
b) $x^{3}+4 x^{2}+4 x=0$
$\Leftrightarrow x\left(x^{2}+4 x+4\right)=0$
$\Leftrightarrow x(x+2)^{2}=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x+2=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=-2\end{array}\right.$
Vậy các giá trị $x$ cần tìm là: $x \in\{-2 ; 0\}$
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) $x^{4}+4$
b) $4 x^{4}+y^{4}$
Bài giải:
a) $x^{4}+4=x^{4}+4 x^{2}+4-4 x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-4 x^{2}=\left(x^{2}+2-2 x\right)\left(x^{2}+2+2 x\right)$
b) $4 x^{4}+y^{4}=4 x^{4}+4 x^{2} y^{2}+y^{4}-4 x^{2} y^{2}=\left(2 x^{2}+y^{2}\right)^{2}-(2 x y)^{2}$
$=\left(2 x^{2}-2 x y+y^{2}\right)\left(2 x^{2}+2 x y+y^{2}\right)$.