Mục lục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khai phương của một tích
a) Định lí:Nếu $\displaystyle A \geq 0$và $b \geq 0$ thì $\displaystyle\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
b) Quy tắc:Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
2. Nhân các căn thức bậc hai
Quy tắc: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
$\displaystyle\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}$ ($\displaystyle A \geq 0 ; b \geq 0$)
3. Chú ý
Định lí và các quy tắc trên cũng đúng khi thay các số không âm bởi các biểu thức có giá trị không âm.
$\displaystyle\sqrt{A B}=\sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$ (($\displaystyle A \geq 0$ và $B \geq 0)$
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính:
a) $\displaystyle\sqrt{49.100}$
b) $\displaystyle\sqrt{12,1.360}$;
c) $\displaystyle\sqrt{2^{2} \cdot 3^{4}}$
d) $\displaystyle\sqrt{2^{4} \cdot(-7)^{2}}$
Bài giải:
a) $\displaystyle\sqrt{49.100}=\sqrt{49} \cdot \sqrt{100}=\sqrt{7^{2}} \cdot \sqrt{10^{2}}=7.10=70$;
b) $\displaystyle\sqrt{12,1.360}=\sqrt{121.36}=\sqrt{121} \cdot \sqrt{36}=\sqrt{11^{2}} \cdot \sqrt{6^{2}}=11.6=66$;
c) $\displaystyle\sqrt{2^{2} \cdot 3^{4}}=\sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{\left(3^{2}\right)^{2}}=2.3^{2}=18$
d) $\displaystyle\sqrt{2^{4} \cdot(-7)^{2}}=\sqrt{2^{4}} \cdot \sqrt{(-7)^{2}}=2^{2} \cdot|-7|=4.7=28$
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau (với $\displaystyle A, b$ không âm):
a) $\displaystyle\sqrt{3 a^{3}} \cdot \sqrt{12 a}$;
b) $\displaystyle\sqrt{2 a \cdot 32 a b^{2}}$
Bài giải:
Với $\displaystyle A \geq 0 ; b \geq 0$ ta có:
a) $\displaystyle\sqrt{3 a^{3}} \cdot \sqrt{12 a}=\sqrt{3 a^{3} \cdot 12 a}=\sqrt{36 a^{4}}=\sqrt{\left(6 a^{2}\right)^{2}}=\left|6 a^{2}\right|=6 a^{2}$
b) $\displaystyle\sqrt{2 a \cdot 32 a b^{2}}=\sqrt{64 a^{2} b^{2}}=\sqrt{(8 a b)^{2}}=|8 a b|=8 a b$
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Rút gọn:
a) $\displaystyle\sqrt{\frac{5 a}{3}} \cdot \sqrt{\frac{15 a}{4}}$ với $\displaystyle A \geq 0$.
b) $\displaystyle\sqrt{3 a \cdot 48 a^{3} b^{4}}$
c) $\displaystyle\sqrt{7 a} \cdot \sqrt{112 a}-8 a$ với $\displaystyle A \geq 0$.
Bài giải:
a) $\displaystyle\sqrt{\frac{5 a}{3}} \cdot \sqrt{\frac{15 a}{4}}=\sqrt{\frac{5 a \cdot 15 a}{3 \cdot 4}}=\sqrt{\frac{25}{4} \cdot a^{2}}=\frac{5}{2} \cdot a$
b) $\displaystyle\sqrt{3 a \cdot 48 a^{3} b^{4}}=12 a^{2} b^{2}$.
c) $\displaystyle\sqrt{7 a} \cdot \sqrt{112 a}-8 a=\sqrt{7 a \cdot 112 a}-8 a=28 a-8 a=20 a$.
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: $\displaystyle A=\frac{1}{a-b} \cdot \sqrt{a^{4} \cdot(a-b)^{2}}$ với $\displaystyle A<b$.
Bài giải:
$\displaystyle A=\frac{1}{a-b} \cdot \sqrt{a^{4} \cdot(a-b)^{2}}=\frac{1}{a-b} \cdot\left|a^{2} \cdot(a-b)\right|=\frac{1}{a-b} \cdot a^{2} \cdot|a-b|$
Vì $\displaystyle A<b$ nên $\displaystyle A=\frac{1}{a-b} \cdot a^{2} \cdot(b-a)=-a^{2}$
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau:
a) $2 x \sqrt{y}+4 y \sqrt{x}$
b) $2 x+3 \sqrt{x}-2 y-3 \sqrt{y}$
Bài giải:
a) $2 \mathrm{x} \sqrt{\mathrm{y}}+4 \mathrm{y} \sqrt{\mathrm{x}}=2 \cdot \sqrt{\mathrm{x}} \cdot \sqrt{\mathrm{x}} \cdot \sqrt{\mathrm{y}}+4 \cdot \sqrt{\mathrm{x}} \sqrt{\mathrm{y}} \sqrt{\mathrm{y}}=2 \sqrt{\mathrm{xy}} \cdot(\sqrt{\mathrm{x}}+2 \sqrt{\mathrm{y}})$
b) $2 x+3 \sqrt{x}-2 y-3 \sqrt{y}=2(x-y)+3(\sqrt{x}-\sqrt{y})$
$=2(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})+3(\sqrt{x}-\sqrt{y})$
$=(\sqrt{x}-\sqrt{y})[2(\sqrt{x}+\sqrt{y})+3]=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(2 \sqrt{x}+2 \sqrt{y}+3)$
Bài 2: Chứng minh:
a) $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=4$
b) $\displaystyle\sqrt{2020}+\sqrt{2019}$ và $\displaystyle\sqrt{2020}-\sqrt{2019}$ là hai số nghịch đảo.
Bài giải:
a) Ta có $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=3^{2}-(\sqrt{5})^{2}=9-5=4$.
b) Ta có $(\sqrt{2020}+\sqrt{2019})(\sqrt{2020}-\sqrt{2019})=(\sqrt{2020})^{2}-(\sqrt{2019})^{2}=2020-2019=1$
Vì tích của hai số bằng 1 nên hai số đã cho là hai số nghịch đảo.