Cách chứng minh đa thức không có nghiệm

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để chứng minh đa thức P(x) không có nghiệm, ta chứng minh P(x) nhận giá trị khác 0 với mọi giá trị của x.

BÀI TẬP MINH HỌA

8A.    Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:

a) x²+5; b) 3x² + 7;           c) 3x⁴ + 10.

8B.     Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:

a) x² +1;                 b) 2x² + 1;             c) x⁴ + 2.

9A.    Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: x² + x + 2.

9B.     Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: x² + x + 1.

10A. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm:

$ \displaystyle f$(x) =  3 (x + 1)² + 2(x – 1)² + 1

10B.   Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: x² + (x + 1)² + 1.

HƯỚNG DẪN GIẢI

8A.    a) Do x²  $ \displaystyle \ge $ 0 nên x² + 5 > 0 vói mọi x.

Vậy x² + 5 không có nghiệm.

b) Tương tự câu a.

c) Tương tự câu a. Chú ý rằng x⁴ $ \displaystyle \ge $ 0 .

8B.     Tương tự 8A.

9A.    Biến đổi $ \displaystyle f$(x), ta có:

$ \displaystyle \begin{array}{l}f(x)=x^{2}+x+2=x^{2}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}\\=x\left( {x+\dfrac{1}{2}} \right)+\dfrac{1}{2}\left( {x+\dfrac{1}{2}} \right)+\dfrac{7}{4}\\=\left( {x+\dfrac{1}{2}} \right)\left( {x+\dfrac{1}{2}} \right)+\dfrac{7}{4}=\left( {x+\dfrac{1}{2}} \right)^{2}+\dfrac{7}{4}\ge \dfrac{7}{4}\end{array}$

Với $ \displaystyle \forall $x ta có $ \displaystyle f$(x) $ \displaystyle \ne $ 0. Vậy $ \displaystyle f$(x) không có nghiệm

9B.     Tương tự 9A.

10A.  Chú ý rằng bình phương của một biểu thức luôn nhận giá trị

không âm. Do đó 3(x +1)² $ \displaystyle \ge $ 0,2 (x – 1)²  $ \displaystyle \ge $ 0 với mọi x.

Suy ra  $ \displaystyle f$(x) $ \displaystyle \ge $ 1 vói mọi x.

Vậy với $ \displaystyle \forall $x ta có $ \displaystyle f$(x) $ \displaystyle \ne $0, Vậy $ \displaystyle f$(x) không có nghiệm.

10B.   Tương tự 10A.