Tìm chữ số chưa biết để thỏa mãn điều kiện để chia hết

Để làm dạng toán tìm chữ số chưa biết để thỏa mãn điều kiện để chia hết ta cần vận dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) và các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 để xét.

* Với bài toán điền chữ số vào * (tìm chữa số trong số đã cho) để thỏa mãn chia hết:

+ Thì ta phân tích số đó theo tổng các chữ số để lập luận chia hết cho 3 và 9

+ Dùng chữ số tận cùng để lập luận chia hết cho 2 và 5

BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1: Cho 1 số có 4 chữ số: $ \overline{{*\text{26}*~}}$. Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho tất cả 4 số : 2; 3 ; 5 ; 9.

HD:

Số đó đảm bảo chia hết cho 2 nên số đó là số chẵn.

Số đó chia hết cho 5 nên số đó phải có chữ số tận cùng là số 0 hoặc 5.

Số đó vừa chia hết cho 3 và 9 nên số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho 9.

Vậy: Chữ số tận cùng của số đó là 0 $ \Rightarrow $$ \overline{{*\text{26}0~}}$. Chữ số đầu là số 1

Do đó số đã cho là 1260

Bài 2: Thay (*) bằng các số thích hợp để:

a) 510* ; 61*16 chia hết cho 3. ;

b) 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1

HD:

a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho 3 thì:

5 + 1 + 0 + * chia hết cho 3; từ đó tìm được * = 0; 3; 6; 9

b) Để 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 thì:

* chẵn và 2 + 6 + 1 + * chia 3 dư 1; từ đó tìm được * = 4

Bài 3: Tìm các chữ số a,b, sao cho

a) a – b = 4 và$ \displaystyle \overline{{7a5b1}}\vdots 3$

b) a – b = 6 và $ \displaystyle \overline{{4a7}}+\overline{{1b5}}\vdots 9$

HD:

a) số $ \displaystyle \overline{{7a5b1}}\vdots 3$ nên 7+a+5+b $ \displaystyle \vdots $3
13+a+b $ \displaystyle \vdots $3 nên a+b chia cho 3 dư 2 (1)
Ta có a-b =4 nên $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}4\le a\le 9\\0\le b\le 5\end{array} \right.$
Suy ra $ \displaystyle 4\le a+b\le 14$ (2)

Mặt khác a-b là số chẵn nên a+b là số chẵn (3)

Từ 1,2,3 suy ra a+b = 8 hoặc 14

Với a+b=8, a-b=4 ta được a=6,b=2

Với a+b=14,a-b=4 tađược a=9,b=5

b) $ \displaystyle \overline{{4a7}}+\overline{{1b5}}\vdots 9$ nên 512 +10(a+b) $ \displaystyle \vdots $9
504 +8+9(a+b)+a+b $ \displaystyle \vdots $9 nên a+b chia 9 dư 1

$ \displaystyle a+b\ge a-b$=6 nên a+b=10

Từ đó ta tìm được a = 8, b = 2

Bài 4: Tìm tất cả các số x, y để có số $ \overline{{34x5y}}$ chia hết cho 36.

HD:

Vì (4, 9) = 1 nên $ \overline{{34x5y}}$ chia hết cho 36 $ \Leftrightarrow $$ \overline{{34x5y}}$ chia hết

cho 9 và $ \overline{{34x5y}}$ chia hết cho 4.

Ta có: $ \overline{{34x5y}}$ chia hết cho 4 $ \Leftrightarrow $5y chia hết cho 4 $ \Leftrightarrow $y ∈ $ \left\{ {2\ ;\ 6} \right\}$ .

$ \overline{{34x5y}}$ chia hết cho 9 $ \Leftrightarrow $(3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9.

$ \Leftrightarrow $(9 + 13 + x + y) chia hết cho 9. ⇔ (3 + x + y) chia hết cho 9

Vì x, y ∈ N và 0 ≤ x; y ≤ 9 Nên x + y thuộc $ \left\{ {6\ ;\ 15} \right\}$

Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 ( > 9 – Loại ).

Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9.

Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956.

Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết cho 5; 7; 9.

HD:

Giả sử ba số viết thêm là $ \overline{{abc}}$.

Ta có: $ \overline{{579abc}}\ \vdots \ 5\ ;\ 7\ ;\ 9\ \Rightarrow \ \overline{{579abc}}$chia hết cho 5.7.9 = 315.

Mặt khác: $ \overline{{579abc}}$ = 579000 + $ \overline{{abc}}$ = (315.1838 + 30 + $ \overline{{abc}}$) chia hết cho 315.

Mà 315.1838 chia hết cho 315 $ \Rightarrow $(30 + $ \overline{{abc}}$) chia hết cho 315 ⇒ 30 + $ \overline{{abc}}$ ∈ (315).

Do 100 ≤ $ \overline{{abc}}$ ≤ 999 ⇒ 130 ≤ 30 + $ \overline{{abc}}$ ≤ 1029

⇒ 30 + $ \overline{{abc}}$ ∈ {315; 630; 945}.

$ \Rightarrow $ $ \overline{{abc}}\ \in \ \left\{ {285\ ;\ 600\ ;\ 915} \right\}$.

Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915.

Bài 6: Cho số $ \overline{{aaaaaaa48}}$. Tìm a để số đã cho chia hết cho 24

HD:

Để A $ \vdots $ 24 ⇔ A $ \vdots $ 3 và 8

Vì 48 $ \vdots $ 8 => a phải lấy giá trị chẵn. Mặt khác 4 + 8 = 12 $ \vdots $ 3 nên 7a $ \vdots $ 3.

⇒ a phải lấy giá trị chẵn và chia hết cho 3.

Vì a < 10 ⇒ a = 6 => 666666648.

Bài 7: Tìm tất cả các số B = 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99

HD:

* B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9

⇒ (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15

* B chia hết cho 11 ⇒ (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11 ⇒ (13+x-y)chia hết cho 11

x – y = 9 (loại) hoặc y – x = 2

+ Với y – x = 2 và x+y=6 ⇒ y=4; x=2

+ Với y – x = 2 và x+y=15 (loại)

vậy B = 6224427

Bài 8: Tìm các chữ số x ,y sao cho: C = $ \overline{{x1995y}}$ chia hết cho 55

HD:

Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = 1

Do đó C =$ \overline{{x1995y\vdots }}$ 55 <=> $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}C\vdots 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\C\vdots 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

(1) ⇒ y = 0 hoặc y = 5

+) y = 0 => x+ 9+5 – ( 1+9 +0)$ \vdots $ 11 => x = 7
+) y = 5 = > x+9 +5 – (1+9+5 ) $ \vdots $ 11 => x = 1

Bài 9: Cho số 2539x với x là chữ số hàng đơn vị. Tìm x để $ \overline{{2539x}}$ chia hết cho cả 2 và 3.

HD:

Ta có: x =0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
– Vì $ \overline{{2539x}}$ chia hết cho 2 nên x = 0 ; 2 ; 4; 6 ; 8.
– Vì $ \overline{{2539x}}$ chia hết cho 3 nên (2 + 5 + 3 + 9 + x) : 3

Hay (19 + x) : 3

Suy ra: x = 2 ; 5 ; 8

Do đó để $ \overline{{2539x}}$chia hết cho cả 2 và 3 thì x = 2 hoặc x = 8

Bài 10: Tìm các cặp số (a,b) sao cho : $ \overline{{4a5b}}\vdots 45$

HD:

b = 0 ⇒ 9+a $ \vdots $ 9 => a = 0 hoặc a = 9

b = 5 ⇒ 14+a $ \vdots $9 => a = 4

*Download file word Tìm chữ số chưa biết để thỏa mãn điều kiện để chia hết.docx bằng cách click vào nút Tải về dưới đây.