Kiến thức cơ bản về đồng dư thức và ứng dụng đồng dư thức giải các dạng Toán 6 nâng cao: chia hết, tìm số tự nhiên, tận cùng, số nguyên tố, chính phương.
Nội dung chính
Xem thêm Chuyên đề Số học THCS.
Đồng dư thức là gì?
Ta viết \(a\equiv b\pmod m\) khi \(a\) và \(b\) có cùng số dư khi chia cho \(m\), hay tương đương \(m\mid(a-b)\).
Ví dụ:
\(17\equiv2\pmod5\), vì \(17-2=15\) chia hết cho \(5\).
Ba tính chất dùng nhiều nhất
Nếu \(a\equiv b\pmod m\) và \(c\equiv d\pmod m\), thì:
- \(a+c\equiv b+d\pmod m\);
- \(a-c\equiv b-d\pmod m\);
- \(ac\equiv bd\pmod m\).
Ví dụ 1: tìm chữ số tận cùng
Muốn tìm chữ số tận cùng của \(3^{2026}\), xét modulo \(10\). Chu kỳ chữ số tận cùng của lũy thừa 3 là \(3,9,7,1\), chu kỳ 4. Vì \(2026\equiv2\pmod4\), nên \(3^{2026}\) tận cùng bằng \(9\).
Ví dụ 2: chứng minh không có nghiệm
Phương trình \(x^2=4k+2\) không có nghiệm nguyên vì bình phương số nguyên modulo \(4\) chỉ có thể bằng \(0\) hoặc \(1\), không thể bằng \(2\).
Ví dụ 3: chứng minh chia hết
Vì \(10\equiv1\pmod9\), nên mọi lũy thừa \(10^n\equiv1\pmod9\). Từ đó:
\(\overline{abc}=100a+10b+c\equiv a+b+c\pmod9\).
Đây chính là nền tảng của dấu hiệu chia hết cho 9.
Bài tập tự luyện
- Tìm chữ số tận cùng của \(7^{2025}\).
- Chứng minh số chính phương không thể chia 4 dư 2 hoặc 3.
- Chứng minh \(\overline{abc}\) và \(a+b+c\) có cùng số dư khi chia cho 9.
Đáp án nhanh: 7; dùng các số dư bình phương modulo 4; dùng \(10\equiv1\pmod9\).
Xem thêm Phương trình nghiệm nguyên THCS và Chuyên đề Số học THCS.