Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

Hướng dẫn học sinh giải các phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn dạng cơ bản qua các bài tập ví dụ có lời giải.

Để làm được dạng bài tập này các em cần nắm vững cách giải chung, sau đó làm nhiều bài tập cho thành thạo.

Cách giải các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản thường gặp:

$\sqrt{A}=\sqrt{B} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ A=B\end{array}\right.$ hoặc $\sqrt{A}=\sqrt{B} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\ A=B\end{array}\right.$ (Tùy theo mức độ đơn giản của biểu thức A hay B mà ta lựa chọn cách biến đổi nào.

$\sqrt{A}=B \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\ A=B^{2}\end{array}\right.$

$\sqrt{A} \leq B \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B \geq 0 \\ A \leq B^{2}\end{array}\right.$

$\sqrt{A} \geq B \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B<0 \\ \left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\ A \geq B^{2}\end{array}\right.\end{array}\right.$

Bài tập giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn có lời giải

Bài tập 1. Giải phương trình

$ \displaystyle \sqrt{{4+2x-x^{2}}}=x-2$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x-2\ge 0} \\ {4+2x-x^{2}={(x-2)}^{2}} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \text{ }\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge 2} \\ {x^{2}-3x=0} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge 2} \\ {x=0\vee x=3} \end{array}} \right.\Leftrightarrow x=3$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=3$.

Bài tập 2. Giải phương trình

$\sqrt{25-x^{2}}=x-1$

Hướng dẫn.

Phương trình đã cho tương đương với

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x-1\ge 0} \\ {25-x^{2}={(x-1)}^{2}} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \text{ }\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge 1} \\ {2x^{2}-2x-24=0} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge 1} \\ {x=4\vee x=-3} \end{array}} \right.\Leftrightarrow x=4$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.

Bài tập 3. Giải phương trình

$\sqrt{3 x^{2}-9 x+1}+2=x$

Hướng dẫn.

Phương trình đã cho tương đương với

$ \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{3x^{2}-9x+1}}=x-2\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x-2\ge 0} \\ {3x^{2}-9x+1={(x-2)}^{2}} \end{array}} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge 2} \\ {2x^{2}-5x-3=0} \end{array}} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge 2} \\ {x=3\vee x=-\dfrac{1}{2}} \end{array}} \right.\\\Leftrightarrow x=3\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=3$.

Bài tập 4. Giải phương trình

$\sqrt{x^{2}-3 x+2}=x-1$

Hướng dẫn.

Phương trình đã cho tương đương với

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x-1\ge 0} \\ {x^{2}-3x+2={(x-1)}^{2}} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge 1} \\ {x=1} \end{array}} \right.\Leftrightarrow x=1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$.

Bài tập 5. Giải phương trình

$\sqrt{x^{2}-5 x+4}=\sqrt{-2 x^{2}-3 x+12}$

Hướng dẫn.

Phương trình đã cho tương đương với

$\left\{\begin{array}{l}x^{2}-5 x+4 \geq 0 \\ x^{2}-5 x+4=-2 x^{2}-3 x+12\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(x-1)(x-4) \geq 0 \\ 3 x^{2}-2 x-8=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{l}x \leq 1 \\ x \geq 4\end{array}\right.} \\ {\left[\begin{array}{l}x=2 \\ x=\dfrac{-8}{6}\end{array}\right.}\end{array} \Leftrightarrow x=\dfrac{-8}{6}\right.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{-8}{6}$.

Bài tập 6. Giải bất phương trình

$x+1 \geq \sqrt{2\left(x^{2}-1\right)}$

Hướng dẫn.

Bất phương trình đã cho tương đương với

$ \displaystyle \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x+1\ge 0} \\ {{(x+1)}^{2}\ge 2\left( {x^{2}-1} \right)\ge 0} \end{array}} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge -1} \\ {x^{2}-2x-3\le 0} \\ {x^{2}-1\ge 0} \end{array}} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge -1} \\ {-1\le x\le 3} \\ {[\begin{array}{*{20}{l}} {x\le -1} \\ {x\ge 1} \end{array}} \end{array}\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=-1} \\ {1\le x\le 3} \end{array}} \right.} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=[1 ; 3] \cup\{-1\}$.

Bài tập 7. Giải bất phương trình

$2 x-5<\sqrt{-x^{2}+4 x-3}$

Hướng dẫn.

Phương trình đã cho tương đương với

$ \displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x-5<0} \\ {-x^{2}+4x-3\ge 0} \end{array}} \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x-5\ge 0} \\ {{(2x-5)}^{2}<-x^{2}+4x-3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$

– Hệ bất phương trình (1) tương đương với

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x<\dfrac{5}{2}} \\ {1\le x\le 3} \end{array}\Leftrightarrow 1\le x<\dfrac{5}{2}} \right.$

– Hệ bất phương trình (2) tương đương với

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge \dfrac{5}{2}} \\ {5x^{2}-24x+28<0} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge \dfrac{5}{2}} \\ {2<x<\dfrac{{14}}{5}} \end{array}\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}\le x<\dfrac{{14}}{4}} \right.$

Lấy hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S=\left[1 ; \dfrac{14}{5}\right)$.

Bài tập 8. Giải phương trình

$\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2 x}$

Hướng dẫn.

Phương trình đã cho tương đương với

$ \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{x+4}}=\sqrt{{1-2x}}+\sqrt{{1-x}}\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {-4\le x\le \dfrac{1}{2}} \\ {x+4=1-x+2\sqrt{{(1-x)(1-2x)}}+1-2x} \end{array}} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {-4\le x\le \dfrac{1}{2}} \\ {\sqrt{{(1-x)(1-2x)}}=2x+1} \end{array}} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {-4\le x\le \dfrac{1}{2}} \\ {x\ge -\dfrac{1}{2}} \\ {(1-x)(1-2x)=4x^{2}+4x+1} \end{array}} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {-\dfrac{1}{2}\le x\le \dfrac{1}{2}} \\ {x=0\vee x=-\dfrac{7}{2}} \end{array}\Leftrightarrow x=0} \right.\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=0$.

Bài tập 9. Giải phương trình

$\sqrt{3 x+1}-\sqrt{2 x-1}=\sqrt{6-x}$

Hướng dẫn.

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}3 x+1 \geq 0 \\ 2 x-1 \geq 0 \\ 6-x \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\dfrac{1}{2} \leq x \leq 6\right.\right.$

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với

$ \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{3x+1}}-\sqrt{{2x-1}}=\sqrt{{6-x}}\\\Leftrightarrow \sqrt{{3x+1}}=\sqrt{{6-x}}+\sqrt{{2x-1}}\\\Leftrightarrow 3x+1=6-x+2x-1+2\sqrt{{6-x}}\sqrt{{2x-1}}\\\Leftrightarrow 2x-4=2\sqrt{{6-x}}\sqrt{{2x-1}}\\\Leftrightarrow x-2=\sqrt{{6-x}}\sqrt{{2x-1}}\\\Leftrightarrow x^{2}-4x+4=-2x^{2}+13x-6(x\ge 2)\\\Leftrightarrow 3x^{2}-17x+10=0\Leftrightarrow [x=5x=\dfrac{2}{3}(l)\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$.

Bài tập 10. Giải bất phương trình

$ \displaystyle 2\sqrt{{x-3}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{{9-2x}}\ge \dfrac{3}{2}$

Hướng dẫn.

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x-3 \geq 0 \\ 9-2 x \leq 0\end{array} \Leftrightarrow 3 \leq x \leq \dfrac{9}{2}\right.$

Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với

$ \displaystyle \begin{array}{l}2\sqrt{{x-3}}\ge \dfrac{1}{2}\sqrt{{9-2x}}+\dfrac{3}{2}\\\Leftrightarrow 4(x-3)\ge \dfrac{1}{4}(9-2x)+\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{2}\sqrt{{9-2x}}\\\Leftrightarrow 16x-48\ge 18-2x+6\sqrt{{9-2x}}\\\Leftrightarrow 9x-33\ge 3\sqrt{{9-2x}}\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {18x-64\ge 0} \\ {{(9x-33)}^{2}\ge 9(9-2x)} \end{array}} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge \dfrac{{32}}{9}} \\ {81x^{2}-576x+1008\ge 0} \end{array}} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge \dfrac{{32}}{9}} \\ {\left[ {x\le \dfrac{{28}}{9}\quad \Leftrightarrow x\ge 4} \right.} \\ {x\ge 4} \end{array}} \right.\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[4 ; \dfrac{9}{2}\right]$.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *