PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính tổng của dãy các phân số theo quy luật ta thường làm như sau:
– Bước 1. Phân tích mẫu về dạng tích hai số tự nhiên có quy luật;
– Bước 2. Mỗi phân số ta tách thành phép trừ hai phân số sao cho phân số trước và phân số sau có thể triệt tiêu;
– Bước 3. Thu gọn kết quả và kết luận.
12A. a) Chứng tỏ rằng với $ \displaystyle n\in \mathbb{N},n\ne 0$ thì $\dfrac{1}{{n(n+1)}}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{{n+1}}$
b) Sử dụng kết quả của ý a) để tính nhanh:
$ \displaystyle \dfrac{1}{{1.2}}+\dfrac{1}{{2.3}}+\dfrac{1}{{3.4}}+…+\dfrac{1}{{9.10}}$
12B. a) Chứng tỏ rằng với $ \displaystyle n\in \mathbb{N},n\ne 0$ thì $\dfrac{a}{{n(n+a)}}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{{n+a}}$.
b) Sử dụng kết quả của ý a) để tính nhanh:
$ \displaystyle \dfrac{2}{{1.3}}+\dfrac{2}{{3.5}}+\dfrac{2}{{5.7}}+…+\dfrac{2}{{11.13}}$
13A. Tính hợp lí:
$ \displaystyle a)A=\dfrac{1}{6}~+\dfrac{1}{{12}}~+\dfrac{1}{{20}}~+\dfrac{1}{{30}}~+\dfrac{1}{{42}}~+\dfrac{1}{{56}}~$
$ \displaystyle b)B=\dfrac{3}{4}~+\dfrac{3}{{28}}~+\dfrac{3}{{70}}~+\dfrac{3}{{130}}~+\dfrac{3}{{208}}~+\dfrac{3}{{304}}$
$ \displaystyle c)C=\dfrac{1}{4}~+\dfrac{1}{{28}}~+\dfrac{1}{{70}}~+\dfrac{1}{{130}}~+\dfrac{1}{{208}}~+\dfrac{1}{{304}}$
$ \displaystyle d)D=\dfrac{1}{2}~+\dfrac{1}{{14}}~+\dfrac{1}{{35}}~+\dfrac{1}{{65}}~+\dfrac{1}{{104}}~+\dfrac{1}{{152}}$
13B. Tính hợp lí:
$ \displaystyle \begin{array}{l}a)A=\dfrac{1}{2}~+\dfrac{1}{6}~+\dfrac{1}{{12}}~+\dfrac{1}{{20}}~+\dfrac{1}{{30}}~\\\\b)B=\dfrac{2}{{15}}~+\dfrac{2}{{35}}~+\dfrac{2}{{63}}~+\dfrac{2}{{99}}~+\dfrac{2}{{143}}~\\\\c)C=\dfrac{1}{{15}}~+\dfrac{1}{{35}}~+\dfrac{1}{{63}}~+\dfrac{1}{{99}}~+\dfrac{1}{{143}}~\end{array}$
12A. $ \displaystyle a)\dfrac{1}{{n(n+1)}}=\dfrac{{n+1-n}}{{n(n+1)}}=\dfrac{{n+1}}{{n(n+1)}}-\dfrac{n}{{n(n+1)}}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{{n+1}}$
$ \displaystyle b)\dfrac{1}{{1.2}}+\dfrac{1}{{2.3}}+…\dfrac{1}{{9.10}}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+…+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{{10}}=\dfrac{9}{{10}}$
12B.$ \displaystyle a)\dfrac{a}{{n(n+a)}}=\dfrac{{n+a-n}}{{n(n+a)}}=\dfrac{{n+a}}{{n(n+a)}}-\dfrac{n}{{n(n+a)}}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{{n+a}}$
$ \displaystyle b)\dfrac{2}{{1.3}}+\dfrac{2}{{3.5}}+…\dfrac{2}{{11.13}}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+…+\dfrac{1}{{11}}-\dfrac{1}{{13}}=\dfrac{{12}}{{13}}$
13A. $ \displaystyle \begin{array}{l}a)A=\dfrac{1}{{2.3}}+\dfrac{2}{{3.4}}+\dfrac{1}{{4.5}}+\dfrac{1}{{5.6}}+\dfrac{1}{{6.7}}+\dfrac{1}{{7.8}}\\\end{array}$
$ \displaystyle \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}$
$ \displaystyle b)B=\dfrac{3}{{1.4}}+\dfrac{3}{{4.7}}+\dfrac{3}{{7.10}}+\dfrac{3}{{10.13}}+\dfrac{3}{{13.16}}+\dfrac{3}{{16.19}}$
$ \displaystyle =1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{{10}}+\dfrac{1}{{10}}-\dfrac{1}{{13}}+\dfrac{1}{{13}}-\dfrac{1}{{16}}+\dfrac{1}{{16}}-\dfrac{1}{{19}}=\dfrac{{18}}{{19}}$
$ \displaystyle c)C=\dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{3}{{1.4}}+\dfrac{3}{{4.7}}+\dfrac{3}{{7.10}}+\dfrac{3}{{10.13}}+\dfrac{3}{{13.16}}+\dfrac{3}{{16.19}}} \right)$
$ \displaystyle =\dfrac{1}{3}\left( {1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{{10}}+\dfrac{1}{{10}}-\dfrac{1}{{13}}+\dfrac{1}{{13}}-\dfrac{1}{{16}}+\dfrac{1}{{16}}-\dfrac{1}{{19}}} \right)=\dfrac{6}{{19}}$
$ \displaystyle d)D=\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{{28}}+\dfrac{2}{{70}}+\dfrac{2}{{130}}+\dfrac{2}{{208}}+\dfrac{2}{{304}}$
$ \displaystyle =\dfrac{2}{3}\left( {\dfrac{3}{{1.4}}+\dfrac{3}{{4.7}}+\dfrac{3}{{7.10}}+\dfrac{3}{{10.13}}+\dfrac{3}{{13.16}}+\dfrac{3}{{16.19}}} \right)=\dfrac{{12}}{{19}}$
13B. $ \displaystyle a)A=\dfrac{5}{6}$
$ \displaystyle \begin{array}{l}b)B=\dfrac{{10}}{{39}}\\\\c)C=\dfrac{1}{{3.5}}+\dfrac{1}{{5.7}}+\dfrac{1}{{7.9}}+\dfrac{1}{{9.11}}+\dfrac{1}{{11.13}}=\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{{13}}} \right)=\dfrac{5}{{39}}\end{array}$