Cách làm dạng toán chứng minh chia hết cho một số

Để chứng minh số A chia hết cho một số ta có thể vận dụng các PHƯƠNG PHÁP sau:

+ PHƯƠNG PHÁP 1: Nếu số A là một số cụ thể ta vận dụng dấu hiệu chia hết 2 ; 3; 4; 8; 9; 11; … để chứng minh.

+ PHƯƠNG PHÁP 2: Nếu số A có tổng hoặc hiệu các số, ta cần phân tích số A để đưa số A về hoặc hiệu hoặc tích của các số có dấu hiệu chia hết rồi áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) hoặc tích để chứng minh.

+ PHƯƠNG PHÁP 3: Để chứng minh A chia hết cho p, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A cho p.

+ PHƯƠNG PHÁP 4: Ngoài ra ta cũng có thể dùng cách tìm chữ số tận cùng của A để chứng minh A chia hết cho một số.

+ PHƯƠNG PHÁP 5: Nếu A ⋮ m và A ⋮ n, đồng thời m và n là hai số nguyên tố cùng nhau thì A chia hết cho tích m.n

BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.

HD:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.

Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là

a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2)

= (3a + 3) chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng).

Vậy Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?

Bài 2: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?

HD:

Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3.

Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:

a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6).

Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên

(4a + 6) không chia hết cho 4.

Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.

Kết luận: Vậy không phải lúc nào tổng n số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho n

Bài 3: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a , b là số tự nhiên.

HD:

Vì 495 chia hết cho 9 nên 1980.a chia hết cho 9 với mọi a.

Vì 1035 chia hết cho 9 nên 1035.b chia hết cho 9 với mọi b.

Nên: (495a + 1035b) chia hết cho 9.

Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b.

Mà (9, 5) = 1.

(495a + 1035b) chia hết cho 45.

Bài 4: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.

HD:

Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2.

Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).

Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2.

Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2)

4n.(n + 1) chia hết cho 8.

2n.(2n + 2) chia hết cho 8.

Bài 5: Chứng minh rằng:

a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.

b) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.

HD:

a. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2.

Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2).

Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2.

– Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.

– Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên).

n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hết cho 3.

n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3.

– Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên).

n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hết cho 3.

n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.

Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.

b. Chứng minh tương tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.

Kết luận: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.

…CÒN NỮA (TẢI VỀ ĐỂ XEM ĐẦY ĐỦ)

*Download file word Cách làm dạng toán chứng minh chia hết cho một số.docx bằng cách click vào nút Tải về dưới đây.