Tìm chữ số tận cùng là dạng toán Số học nâng cao thường gặp ở lớp 6 và trong các bài bồi dưỡng HSG THCS. Cách làm cốt lõi là nhận ra chu kỳ của lũy thừa theo modulo \(10\), hoặc modulo \(100\) nếu cần tìm hai chữ số tận cùng.
1. Chu kỳ chữ số tận cùng của lũy thừa
| Chữ số tận cùng của cơ số | Chu kỳ chữ số tận cùng của lũy thừa | Độ dài chu kỳ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2, 4, 8, 6 | 4 |
| 3 | 3, 9, 7, 1 | 4 |
| 4 | 4, 6 | 2 |
| 5 | 5 | 1 |
| 6 | 6 | 1 |
| 7 | 7, 9, 3, 1 | 4 |
| 8 | 8, 4, 2, 6 | 4 |
| 9 | 9, 1 | 2 |
Với chu kỳ có độ dài 4, ta chia số mũ cho 4. Nếu số dư là \(1,2,3\) thì chọn lần lượt phần tử thứ \(1,2,3\) trong chu kỳ; nếu số dư bằng 0 thì chọn phần tử thứ 4.
2. Ví dụ tìm một chữ số tận cùng
Bài toán 1
Tìm chữ số tận cùng của \(7^{99}\), \(14^{1414}\), \(4^{567}\).
a) \(7^{99}\). Chu kỳ của lũy thừa có cơ số tận cùng bằng 7 là \(7,9,3,1\). Vì
\(99=4\cdot24+3\),
nên \(7^{99}\) có chữ số tận cùng là 3.
b) \(14^{1414}\). Chỉ cần xét \(4^{1414}\). Chu kỳ của 4 là \(4,6\), mà \(1414\) chẵn, nên chữ số tận cùng là 6.
c) \(4^{567}\). Vì \(567\) lẻ nên \(4^{567}\) có chữ số tận cùng là 4.
Bài toán 2
Tìm chữ số tận cùng của
\(S=2^1+3^5+4^9+\cdots+2004^{8009}\).
Số mũ của số hạng có cơ số \(n\) là \(4n-7\), luôn đồng dư 1 modulo 4. Vì thế mỗi lũy thừa có cùng chữ số tận cùng với cơ số của nó. Do đó chữ số tận cùng của \(S\) bằng chữ số tận cùng của
\(2+3+\cdots+2004=\dfrac{(2+2004)\cdot2003}{2}=1003\cdot2003\).
Tích này có chữ số tận cùng là \(3\cdot3=9\). Vậy \(S\) có chữ số tận cùng là 9.
Bài toán 3
Tìm chữ số tận cùng của
\(T=2^3+3^7+4^{11}+\cdots+2004^{8011}\).
Số mũ của số hạng có cơ số \(n\) là \(4n-5\), luôn đồng dư 3 modulo 4. Với các chữ số tận cùng \(0,1,\ldots,9\), chữ số tận cùng của lũy thừa bậc \(4k+3\) lần lượt là
\(0,1,8,7,4,5,6,3,2,9\).
Từ \(2\) đến \(2001\) có 200 nhóm đủ 10 chữ số tận cùng, mỗi nhóm có tổng \(45\), nên phần này có tổng tận cùng bằng 0. Ba số còn lại \(2002,2003,2004\) cho các chữ số tận cùng \(8,7,4\), tổng là 19. Vậy \(T\) có chữ số tận cùng là 9.
3. Dùng số dư để loại số chính phương
Bài toán 4
Có tồn tại \(n\in\mathbb{N}\) sao cho \(1995^{2000}\mid(n^2+n+1)\) hay không?
Vì \(5\mid1995^{2000}\), nếu tồn tại \(n\) thì phải có \(5\mid(n^2+n+1)\). Xét \(n\) theo các số dư \(0,1,2,3,4\) modulo 5, ta thu được \(n^2+n+1\) lần lượt có số dư \(1,3,2,3,1\). Không trường hợp nào có số dư 0.
Vậy không tồn tại số tự nhiên \(n\) thỏa mãn.
Bài toán 5
Chứng minh các số sau không thể là số chính phương:
a) \(M=19^k+5^k+1995^k+1996^k\), với \(k\) là số nguyên dương chẵn.
Vì \(k\) chẵn nên các số hạng có chữ số tận cùng lần lượt là \(1,5,5,6\). Do đó \(M\) có chữ số tận cùng là 7. Số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 7, nên \(M\) không phải số chính phương.
b) \(N=2004^{2004k}+2003\), với \(k\) là số nguyên dương.
Vì \(2004^{2004k}\) chia hết cho 8 và \(2003\equiv3\pmod{8}\), nên \(N\equiv3\pmod{8}\). Trong khi số chính phương modulo 8 chỉ có thể nhận các số dư \(0,1,4\). Vậy \(N\) không phải số chính phương.
4. Tìm hai chữ số tận cùng
Bài toán 6
Tìm hai chữ số tận cùng của \(2^{2003}\) và \(7^{99}\).
a) \(2^{2003}\). Ta có \(2^{20}-1\) chia hết cho 25. Suy ra \(2^{2000}-1\) cũng chia hết cho 25. Vì thế
\(2^{2003}-2^3=2^3(2^{2000}-1)\)
chia hết cho \(8\cdot25=200\), nên đặc biệt chia hết cho 100. Do đó
\(2^{2003}\equiv8\pmod{100}\).
Hai chữ số tận cùng là 08.
b) \(7^{99}\). Vì \(7^4=2401\equiv1\pmod{100}\) và \(99=4\cdot24+3\),
\(7^{99}\equiv7^3=343\equiv43\pmod{100}\).
Hai chữ số tận cùng là 43.
Bài toán 7
Tìm số dư của \(3^{517}\) khi chia cho 25.
Ta có \(3^{10}=59049\equiv-1\pmod{25}\), nên \(3^{20}\equiv1\pmod{25}\). Vì \(517=20\cdot25+17\),
\(3^{517}\equiv3^{17}=3^{10}\cdot3^7\equiv(-1)\cdot12\equiv13\pmod{25}\).
Vậy số dư cần tìm là 13.
5. Checklist tránh nhầm chu kỳ
- Chỉ xét chữ số tận cùng của cơ số khi tìm modulo 10.
- Giảm số mũ theo đúng độ dài chu kỳ; đặc biệt số dư 0 không được nhầm thành phần tử đầu chu kỳ.
- Nếu tìm hai chữ số tận cùng, phải làm việc modulo 100 chứ không chỉ modulo 10.
- Khi chứng minh không phải số chính phương, có thể dùng các số dư quen thuộc modulo 4 hoặc modulo 8.
Xem thêm Chuyên đề Số học THCS và Số chính phương: dấu hiệu và các dạng bài THCS.