Công thức
$\int x^{\alpha} d x=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C ;(\alpha \neq-1)$
$\sqrt[n]{x^{m}}=x^{\dfrac{m}{n}}$
Cách tính nguyên hàm của hàm chứa căn thức
Phương pháp tính nguyên hàm của hàm chứa căn thức qua bài tập có lời giải.
Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{3}+\sqrt[3]{x}$
A. $\dfrac{2}{9} x \sqrt{x}+\dfrac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C$
B. $\dfrac{3}{2} x \sqrt{x}+\dfrac{4}{3} x \sqrt[3]{x}+C$
C. $\dfrac{2}{3} x \sqrt{x}+\dfrac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C$
D. $\dfrac{2}{3} x \sqrt{x}+\dfrac{4}{3} x \sqrt[3]{x}+C$
Giải:
$\int f(x) \mathrm{d} \mathrm{x}=\int\left(\dfrac{\sqrt{x}}{3}+\sqrt[3]{x}\right) d x$
$=\dfrac{1}{3} \int \sqrt{x} d x+\int \sqrt[3]{x} d x$
$=\dfrac{1}{3} \dfrac{x^{\dfrac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}}+\dfrac{x^{\dfrac{4}{3}}}{\dfrac{4}{3}}+C$
$=\dfrac{2}{9} x \sqrt{x}+\dfrac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C$
⇒ Chọn đáp án A.
Bài 2: Tìm $\int\left(\sqrt[4]{x}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}\right) d x$
A. $\dfrac{4}{5} x \cdot \sqrt[5]{x}+\dfrac{1}{8} \sqrt{x}+C$
B. $\dfrac{5}{4} \sqrt[4]{x}+4 \sqrt{x}+C$
C. $\dfrac{4}{5} x \cdot \sqrt[4]{x}+8 \sqrt{x}+C$
D. $\dfrac{4}{5} \sqrt[4]{x}+4 \sqrt{x}+C$
Giải:
$\int\left(\sqrt[4]{x}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}\right) d x$
$=\int x^{\dfrac{1}{4}} d x+4 \int x^{\dfrac{-1}{2}} d x$
$=\dfrac{x^{\dfrac{5}{4}}}{\dfrac{5}{4}}+4 \cdot \dfrac{x^{\dfrac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}}+C$
$=\dfrac{4}{5} x \cdot \sqrt[4]{x}+8 \sqrt{x}+C$
⇒ Chọn đáp án C.
Bài 3: Tìm $\int \dfrac{x+x \sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} d x$
A. $\dfrac{2}{3} x \sqrt{x}+\dfrac{x^{2}}{2}+4 \sqrt{x}+C$
B. $\dfrac{2}{3} x \sqrt{x}+2 x^{2}+2 \sqrt{x}+C$
C. $\dfrac{3}{2} x \sqrt{x}+x^{2}+4 \sqrt{x}+C$
D. Đáp án khác
Giải:
$\int \dfrac{x+x \sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} d x$
$=\int\left(\sqrt{x}+x+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right) d x$
$=\int x^{\dfrac{1}{2}} d x+\int x d x+2 \int x^{\dfrac{-1}{2}} d x$
$=\dfrac{x^{\dfrac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}}+\dfrac{x^{2}}{2}+2 \cdot \dfrac{x^{\dfrac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}}+C$
$=\dfrac{2}{3} x \sqrt{x}+\dfrac{x^{2}}{2}+4 \sqrt{x}+C$
⇒ Chọn đáp án A.
Bài 4: Nguyên hàm của hàm số: $y=\dfrac{x^{2}+\sqrt[3]{x}}{x \sqrt{x}}$
A. $2 \sqrt{x}-\dfrac{6}{\sqrt[6]{x}}+C$
B. $\dfrac{2}{\sqrt{x}}+\dfrac{6}{\sqrt[6]{x}}+C$
C. $2 \sqrt{x}-6 \sqrt[6]{x}+C$
D. $4 \sqrt{x}+\dfrac{1}{6 \sqrt[6]{x}}+C$
Giải:
Ta có:
$\int \dfrac{x^{2}+\sqrt[3]{x}}{x \sqrt{x}} d x$
$=\int\left(\dfrac{x^{2}}{x \sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt[3]{x}}{x \sqrt{x}}\right) d x$
$=\int\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[6]{x^{7}}}\right) d x$
$=\int x^{\dfrac{-1}{2}} d x+\int x^{\dfrac{-7}{6}} d x$
$=\dfrac{x^{\dfrac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{x^{\dfrac{-1}{6}}}{\dfrac{-1}{6}}+C=2 \sqrt{x}-\dfrac{6}{\sqrt[6]{x}}+C$
⇒ Chọn đáp án A.