Công thức tính nguyên hàm đa thức thường dùng
$\int x^{\alpha} d x=\dfrac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)$
$\int 0 d x=C ; \int d x=\int 1 . d x=x+C$
$\int k x^{\alpha} d x=\dfrac{k}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)$
Trong đó, k là hằng số.
$\int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$
Cách tính nguyên hàm của đa thức
Để tính được nguyên hàm của các hàm đa thức các em xem ví dụ có lời giải dưới đây.
Bài 1: Họ nguyên hàm của hàm số $ f\left( x \right)=\text{ }{{x}^{2}}~-\text{ }2x\text{ }+\text{ }{{x}^{{-2}}}$ là
A. $ F(x)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2+\dfrac{1}{x}+C$
B. $ F(x)=2x+\dfrac{2}{x}+C$
C. $ F(x)=\dfrac{1}{3} x^{3}-x^{2}-\dfrac{1}{x}+C .$
D. $ F(x)=\dfrac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+x+C$
Giải:
$\int f(x) d x=\int\left(x^{2}-2 x+x^{-2}\right) d x=\int x^{2} d x-2 \int x \mathrm{d} x+\int x^{-2} d x=\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}+\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}-\dfrac{1}{x}+C$
⇒ Chọn đáp án C.
Bài 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số: $f(x)=4 x^{3}+3 x^{2}+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}$
A. $ g(x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{{{{x}^{2}}}}$
B. $ h(x)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\dfrac{1}{{{{x}^{2}}}}+x$
C. $ k(x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\dfrac{1}{{2{{x}^{2}}}}+\dfrac{1}{x}$
D. $ u(x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{{2{{x}^{2}}}}$
Giải:
Ta có:
$ \int{f}(x)dx=\int{{\left( {4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+\dfrac{2}{{{{x}^{2}}}}-\dfrac{1}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}dx$
$ =4\int{{{{x}^{3}}}}dx+3\int{{{{x}^{2}}}}dx+2\int{{{{x}^{{-2}}}}}dx-\int{{{{x}^{{-3}}}}}dx$
$ =4\cdot \dfrac{{{{x}^{4}}}}{4}+3\cdot \dfrac{{{{x}^{3}}}}{3}+2\cdot \dfrac{{{{x}^{{-1}}}}}{{-1}}-\dfrac{{{{x}^{{-2}}}}}{{-2}}+C$
$ ={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{{2{{x}^{2}}}}+C$
⇒ Chọn đáp án D.
Bài 3: Nguyên hàm F(x) của hàm số $ f(x)=\dfrac{{2{{x}^{4}}+3}}{{{{x}^{2}}}}\quad (x\ne 0)$ là
A. $ F(x)=\dfrac{{2{{x}^{3}}}}{3}-\dfrac{3}{x}+C$
B. $ F(x)=\dfrac{{{{x}^{3}}}}{3}-\dfrac{3}{x}+C$
C. $ F(x)=-3{{x}^{3}}-\dfrac{3}{x}+C$
D. $ F(x)=\dfrac{{2{{x}^{3}}}}{3}+\dfrac{3}{x}+C$
Giải:
$\begin{aligned} I &=\int\left(\dfrac{2 x^{4}+3}{x^{2}}\right) d x=2 \int x^{2} d x+3 \int \dfrac{1}{x^{2}} d x \\ &=\int\left(2 x^{2}+\dfrac{3}{x^{2}}\right) d x=\dfrac{2 x^{3}}{3}-\dfrac{3}{x}+C \end{aligned}$
⇒ Chọn đáp án A.
Bài 4: Nguyên hàm F(x) của hàm số $ f(x)=\left(\dfrac{x^{2}+1}{x}\right)^{2} \quad(x \neq 0)$ là
A. $ F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{1}{x}+2 x+C$
B. $ F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{1}{x}+2 x+C$
C. $ F(x)=\dfrac{\dfrac{x^{3}}{3}+x}{\dfrac{x^{2}}{2}}+C$
D. $ F(x)=\left(\dfrac{\dfrac{x^{3}}{3}+x}{\dfrac{x^{2}}{2}}\right)^{3}+C$
Giải:
$ \begin{array}{l}\int{f}(x)dx=\int{{{{{\left( {\dfrac{{{{x}^{2}}+1}}{x}} \right)}}^{2}}}}dx=\int{{{{{\left( {x+\dfrac{1}{x}} \right)}}^{2}}}}dx\\=\int{{\left( {{{x}^{2}}+2+\dfrac{1}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}dx=\int{{\left( {{{x}^{2}}+2+{{x}^{{-2}}}} \right)}}dx\\=\int{{{{x}^{2}}}}dx+\int{2}dx+\int{{{{x}^{{-2}}}}}dx\\=\dfrac{{{{x}^{3}}}}{3}+2x+\dfrac{{{{x}^{{-1}}}}}{{-1}}+C=\dfrac{{{{x}^{3}}}}{3}-\dfrac{1}{x}+2x+C\end{array}$
⇒ Chọn đáp án A.
Bài 5: Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $f'(x) = 2x + 1$ và $f(1) = 5$
A. $x^{2}+x+3 \quad$
B. $x^{2}+x-3 \quad$
C. $x^{2}+x \quad$
D. $x^{2}-x$
Theo giả thiết ta có:
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x)=\int{{(2x+1)}}dx} \\ {f(1)=5} \end{array}\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x)={{x}^{2}}+x+C} \\ {f(1)={{1}^{2}}+1+C=5} \end{array}\Rightarrow C=3} \right.} \right.$
Vậy hàm số cần tìm là $ f\left( x \right)\text{ }=\text{ }{{x}^{2}}~+\text{ }x\text{ }+\text{ }3$