Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba dạng tổng quá và ví dụ minh họa dễ hiểu.
Hướng dẫn học sinh lớp 12 viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3.
PHƯƠNG PHÁP
Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$.
Ta có $y^{prime}=f^{prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c$.
Ta có $Delta_{y^{prime}}^{prime}=b^{2}-3 a c .$ Nếu $b^{2}-3 a c>0$ thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Ta cần viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị.
Có nhiều trường hợp, giải phương trình $f^{prime}(x)=0$ ra nghiệm xấu. Tọa độ hai điểm cực trị có số xấu. Làm thế nào để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.
Có nhiều trường hợp, giải phương trình $f^{prime}(x)=0$ ra nghiệm xấu. Tọa độ hai điểm cực trị có số xấu. Làm thế nào để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.
Giả sử phương trình $f^{prime}(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2} .$ Khi đó toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị là $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right), Nleft(x_{2} ; fleft(x_{2}right)right)$.
Thực hiện phép chia $f(x)$ cho $f^{prime}(x)$ và giả sử ta được thương $q(x)$ và dư là $r(x)=$ $k x+m$. Như vậy $f(x)=q(x) cdot f^{prime}(x)+r(x)$.
Xét đường thẳng $d: y=k x+m$.
Ta có $fleft(x_{1}right)=qleft(x_{1}right) cdot f^{prime}left(x_{1}right)+rleft(x_{1}right)=rleft(x_{1}right)$, bởi vì $f^{prime}left(x_{1}right)=0$, do $x_{1}$ là điểm cực trị của hàm số.
Tương tự $fleft(x_{2}right)=qleft(x_{2}right) cdot f^{prime}left(x_{2}right)+rleft(x_{2}right)=rleft(x_{2}right)$, bởi vì $f^{prime}left(x_{1}right)=0$, do $x_{1}$ là điểm cực trị của hàm số.
Như vậy toạ độ hai điểm $M, N$ thoả mãn phương trình $y=k x+m .$ Do đó đường thẳng $d: y=k x+m$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=$ $f(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1$
Giải.
Ta có $f^{prime}(x)=3 x^{2}-4 x-1$. Thực hiện phép chia đa thức $f(x)$ cho $f^{prime}(x)$ ta được thương là $dfrac{1}{3} x-dfrac{2}{9}$ và dư là $-dfrac{14}{9} x-dfrac{7}{9}$.
Từ đó phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y=-dfrac{14}{9} x-$ $dfrac{7}{9}$.
Kết luận nhanh
Khi đồ thị hàm bậc ba có hai điểm cực trị, có thể tránh việc tìm trực tiếp hai nghiệm xấu của phương trình đạo hàm bằng cách chia f(x) cho f′(x). Phần dư là một đa thức bậc nhất r(x) = kx + m; đường thẳng y = kx + m chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Cách làm này đặc biệt hữu ích khi nghiệm của f′(x) không đẹp. Điều kiện cần kiểm tra trước là phương trình f′(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt để đồ thị có hai điểm cực trị.