Mục lục
Đặt ẩn phụ là phương án chúng ta thường nghĩ tới khi giải phương trình, bất phương trình nâng cao. Và nó cũng sử dụng để giải các tích phân của hàm lượng giác khi chúng ta không giải được bằng nguyên hàm lượng giác.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tích phân hàm số lượng giác có dạng tổng quát:
$\displaystyle I=\int_{a}^{b} F(\sin x, \cos x) d x$
Tùy thuộc vào tính chất và dạng đặc biệt của hàm $F(\sin x, \cos x)$ hoăc mối quan hệ giữa hàm $F(\sin x, \cos x)$ với các cận lấy tích phân mà chúng ta sử dụng phép biến đổi tương đương.
Dạng 1: Nếu hàm lượng giác chẵn với Sin và Cos
Tức là: $ F(\sin x,\cos x)=F(-\sin x,-\cos x)$ ($ F\text{ }$ là hàm số chẵn theo $ \sin x$ và $ \cos x$)
Cách giải: Đặt $t=\tan x$ hoăc $t=\cot x$
Ví dụ 1: Tính tích phân
$\displaystyle I=\int_{{\dfrac{\pi }{6}}}^{{\dfrac{\pi }{3}}}{{\dfrac{{\sqrt[3]{{{{{\sin }}^{3}}x-\sin x}}}}{{{{{\sin }}^{3}}x}}}}\cot xdx$
Giải:
Rõ ràng $F=\dfrac{\sqrt[3]{\sin ^{3} x-\sin x}}{\sin ^{3} x} \cot x=\dfrac{\sqrt[3]{(-\sin x)^{3}-(-\sin x)}}{(-\sin x)^{3}} \cdot \dfrac{-\cos x}{-\sin x}$ nên nó là hàm số chẵn theo $ \sin x$ và $ \cos x$.
Ta có:
$\displaystyle I=\int_{{\dfrac{\pi }{6}}}^{{\dfrac{\pi }{3}}}{{\dfrac{{\sqrt[3]{{1-\dfrac{1}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}\cot xdx=\int_{{\dfrac{\pi }{6}}}^{{\dfrac{\pi }{3}}}{{\dfrac{{\sqrt[3]{{1-\left( {1+{{{\cot }}^{2}}x} \right)}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}\cot xdx=-\int_{{\dfrac{\pi }{6}}}^{{\dfrac{\pi }{3}}}{{\dfrac{{\sqrt[3]{{{{{\cot }}^{2}}x}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}\cot xdx$
Đặt $t=\cot x \Rightarrow d t=-\dfrac{1}{\sin ^{2} x} d x$
Khi $x=\dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t=\sqrt{3} ; x=\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Từ đó
$\displaystyle I=\int_{\sqrt{3}}^{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} t^{\dfrac{1}{3}} \cdot t d t=\int_{\sqrt{3}}^{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} t^{\dfrac{5}{3}} d t=\sqrt{\dfrac{1}{8}\left(9 \sqrt[3]{3}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)}$
Dạng 2: Nếu hàm số lượng giác lẻ với Cos
Tức là: $ F(\sin x,\cos x)=-F(\sin x,-\cos x)$ ($ F$ là hàm số lẻ theo $ \cos x$)
Cách giải: Đặt $t=\sin x$
Ví dụ 2: Tính tích phân
$\displaystyle I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin 2 x}{(2+\sin x)^{2}} d x$
Giải:
Ta thấy $F=\dfrac{\sin 2 x}{(2+\sin x)^{2}}=\dfrac{2 \sin x \cos x}{(2+\sin x)^{2}}=-\dfrac{2 \sin x(-\cos x)}{(2+\sin x)^{2}}$ nên $F$ là hàm số lẻ theo $\cos x$
Ta có
$\displaystyle I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{2 \sin x \cos x}{(2+\sin x)^{2}} d x$
Đặt $t=\sin x \Rightarrow d t=\cos x d x$
Khi $x=0 \Rightarrow t=0 ; x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$
Từ đó:
$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \dfrac{t}{(2+t)^{2}} d t=2\left(\int_{0}^{1} \dfrac{1}{2+t} d t-\int_{0}^{1} \dfrac{1}{(2+t)^{2}} d t\right)=2\left(\ln \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}\right)$
Dạng 3: Nếu hàm số lượng giác lẻ với Sin
Tức là: $ F(\sin x,\cos x)=-F(-\sin x,\cos x)$ ($ F$ là hàm số lẻ theo $ \sin x$)
Cách giải: Đặt $t=\cos x$
Ví dụ 3: Tính tích phân
$\displaystyle I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \dfrac{\sin x-\sin ^{3} x}{\cos 2 x} d x$
Giải:
Ta thấy $\displaystyle F=\dfrac{\sin x-\sin ^{3} x}{\cos 2 x}=-\dfrac{(-\sin x)-(-\sin x)^{3}}{\cos 2 x}$ nén $F$ là hàm số lẻ theo $\sin x$
Đặt $\displaystyle t=\cos x \Rightarrow d t=-\sin x d x$
Khi $\displaystyle x=0 \Rightarrow t=1 ; x=\dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có:
$\displaystyle I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \dfrac{\dfrac{\pi}{6}}{\dfrac{\sin x-\sin ^{3} x}{\cos 2 x}} d x=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \dfrac{\sin ^{2} x-1}{2 \cos ^{2} x-1}(-\sin x) d x=-\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \dfrac{\cos ^{2} x}{2 \cos ^{2} x-1}(-\sin x) d x$
$ \displaystyle =-\int_{1}^{{\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\dfrac{{{{t}^{2}}}}{{2{{t}^{2}}-1}}}}dt=-\dfrac{1}{2}\int_{1}^{{\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\dfrac{{2{{t}^{2}}-1+1}}{{2{{t}^{2}}-1}}}}dt=-\dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{1}^{{\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{dt+\int\limits_{1}^{{\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\dfrac{{dt}}{{2{{t}^{2}}-1}}}}}}} \right)$
$ \displaystyle =-\dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{1}^{{\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{dt-\dfrac{1}{2}\int_{1}^{{\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt{2}t-1-(\sqrt{2}t+1)}}{{(\sqrt{2}t-1)(\sqrt{2}t+1)}}}}}}} \right)$
$ \displaystyle =-\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}-1-\dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{1}^{{\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\dfrac{{dt}}{{\sqrt{2}t+1}}-\int_{1}^{{\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\dfrac{{dt}}{{\sqrt{2}t-1}}}}}}} \right)} \right)$
$ \displaystyle =\dfrac{1}{2}-\dfrac{{\sqrt{3}}}{4}+\dfrac{1}{{4\sqrt{2}}}\left( {\ln \left( {\dfrac{{\sqrt{6}}}{2}+1} \right)-\ln (\sqrt{2}+1)-\ln \left( {\dfrac{{\sqrt{6}}}{2}-1} \right)+\ln (\sqrt{2}-1)} \right)$
Dạng 4: Nếu hàm số lượng giác dạng phân thức
Tức là: $\displaystyle F(\sin x, \cos x)=\dfrac{a_{1} \sin x+b_{1} \cos x+c_{1}}{a_{2} \sin x+b_{2} \cos x+c_{2}}$
Cách giải: Đặt $\displaystyle t=\tan \dfrac{x}{2}$
Ví dụ 4: Tính tích phân $\displaystyle I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{d x}{4 \sin x+3 \cos x+5}$
Giải:
Đặt $\displaystyle t=\tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d x=\dfrac{2 d t}{1+t^{2}} \\ \sin x=\dfrac{2 t}{1+t^{2}} ; \cos x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\end{array}\right.$
Khi $x=0 \Rightarrow t=1 ; x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$
Ta có
$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\dfrac{8 t}{1+t^{2}}+3 \dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+5} \cdot \dfrac{2 d t}{1+t^{2}}=\int_{0}^{1} \dfrac{d t}{t^{2}+4 t+4}=\int_{0}^{1} \dfrac{d(t+2)}{(t+2)^{2}}=\dfrac{1}{6}$
Ví dụ 5: Tính tích phân
$\displaystyle I=\int_{0}^{\dfrac{x}{2}} \dfrac{\cos ^{n} x}{\cos ^{n} x+\sin ^{n} x} d x$
Trong đó n là số nguyên dương
Lời giải:
Đặt $\displaystyle t=\dfrac{\pi}{2}-x \Rightarrow d x=-d t$
Khi $\displaystyle x=0 \Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2} ; x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t=0$
Từ đó
$\displaystyle I=-\int_{\dfrac{\pi}{2}}^{0} \dfrac{\cos ^{n}\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)}{\cos ^{n}\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)+\sin ^{n}\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)} d t=\int_{0}^{\dfrac{x}{2}} \dfrac{\sin ^{n} t}{\sin ^{n} t+\cos ^{n} t} d t=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin ^{n} x}{\sin ^{n} x+\cos ^{n} x} d x$
Do đó
$\displaystyle 2 I=\int_{0}^{\dfrac{x}{2}} \dfrac{\sin ^{n} x}{\sin ^{n} x+\cos ^{n} x} d x+\int_{0}^{\dfrac{x}{2}} \dfrac{\cos ^{n} x}{\cos ^{n} x+\sin ^{n} x} d x=\int_{0}^{\dfrac{x}{2}} d x=\dfrac{\pi}{2}$
Vậy $\displaystyle I=\dfrac{\pi }{4}$
Ví dụ 6: Tính tích phân
$\displaystyle I=\int_{0}^{3 \pi} \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x d x$
Lời giải:
Ta có
$\displaystyle I=\int_{0}^{\dfrac{3 x}{2}} \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x d x+\int_{\dfrac{3 x}{2}}^{3 \pi} \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x d x(1)$
Xét tích phân
$ \displaystyle J=\int_{{\dfrac{{3\pi }}{2}}}^{{3\pi }}{{\sin }}x\cdot \sin 2x\cdot \sin 3xdx$
Đặt $t=3 \pi-x \Rightarrow d x=-d t$
Khi $x=\dfrac{3 \pi}{2} \Rightarrow t=\dfrac{3 \pi}{2} ; x=3 \pi \Rightarrow t=0$
Từ đó
$ \displaystyle J=-\int_{{\dfrac{{3\pi }}{2}}}^{0}{{\sin }}(3\pi -t)\cdot \sin (6\pi -2t)\cdot \sin (9\pi -3t)dt$
$ \displaystyle =-\int_{0}^{{\dfrac{{3\pi }}{2}}}{{\sin }}t\cdot \sin 2t\cdot \sin 3tdt=-\int_{0}^{{\dfrac{{3\pi }}{2}}}{{\sin }}x\cdot \sin 2x\cdot \sin 3xdx(2)$
Từ (1) và (2) ta được $ \displaystyle I=0$.
BÀI TẬP
Tính các tích phân lượng giác sau:
1. $\displaystyle I=\int_{0}^{{\dfrac{\pi }{4}}}{{{{{\tan }}^{6}}}}xdx$
2. $\displaystyle I=\int_{0}^{{\dfrac{\pi }{2}}}{{\dfrac{{\sin x+7\cos x+6}}{{4\sin x+3\cos x+5}}}}dx$
3. $\displaystyle I=\int_{{\dfrac{\pi }{6}}}^{{\dfrac{\pi }{3}}}{{\dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{{\sin }}^{3}}x\cdot {{{\cos }}^{5}}x}}}}}}dx$
4. $\displaystyle I=\int_{{\dfrac{\pi }{6}}}^{{\dfrac{\pi }{2}}}{{\dfrac{{{{{\cos }}^{3}}x+{{{\cos }}^{5}}x}}{{{{{\sin }}^{2}}x+{{{\sin }}^{4}}x}}}}dx$
5. $\displaystyle I=\int_{{\dfrac{\pi }{4}}}^{{\dfrac{\pi }{3}}}{{\dfrac{1}{{{{{\sin }}^{2}}x\cdot {{{\cos }}^{4}}x}}}}dx$