Mục lục
Dấu hiệu nhận biết hình thoi
Hình thoi mà một tứ giác đặc biệt với các dấu hiệu nhận biết như sau:
1) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
2) Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau
3) Tứ giác có 2 đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc
4) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
5) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau
6) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc
Cách chứng minh hình thoi
Để chứng minh một tứ giác là hình thoi, chúng ta sẽ dựa vào các dấu hiệu nhận biết hình thoi mà Học Toán 123 đã nêu ở trên.
Bài tập minh họa
Các em theo dõi những bài tập có lời giải dưới đây để nắm được cách chứng minh tứ giác là hình thoi.
Bài 1: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.
Giải:
Xét ΔABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD
⇒ EH là đường trung bình của ΔABD
⇒ EH = 1/2 BD (1)
Chứng minh tương tự ta có: EF = 1/2 AC; FG = 1/2 BD; HG = 1/2 AC (2)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra EH = EF = HG = GF
⇒ Tứ giác EFGH là hình thoi do có bốn cạnh bằng nhau.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi.
Giải:
Ta có:
ΔABC cân tại A có trung tuyến AM
⇒ AM là đường trung trực của BC
⇒ Tứ giác ABEC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau.
Bài 3: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: IMNK là hình thoi.
Giải:
M là trung điểm của BE và I là trung điểm của DE
⇒ MI là đường trung bình của ΔBDE
⇒ MI // BD và MI = 1/2 BD
Chứng minh tương tự, ta có:
NK // BD và NK= 1/2 BD
Do có MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành (4)
Chứng minh tương tự, ta có: IN là đường trung bình của ΔCDE
⇒ IN = 1/2 CE mà CE = BD (gt) => IN = IM (5)
Từ (4) và (5) ⇒ Tứ giác MINK là hình thoi do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
Bài 4: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác ΔAOB; ΔBOC; ΔCOD và ΔDOA là đỉnh của một hình thoi.
Giải:
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.
Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.
Xét ΔBMO và ΔDPO có:
Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( đối đỉnh ) và OB = OD (gt)
=> ΔBMO = ΔDPO (g. c. g)
=> OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (6)
Chứng minh tương tự: ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (7)
Từ (6) và (7) Suy ra: Tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)
Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON. (9)
Từ (8) và (9) suy ra: MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.