Cách tìm cực trị của hàm số

Để tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số chúng ta cần ôn lại lý thuyết và làm theo các quy tắc, sau đó xem ví dụ ngay trong bài viết này.

Khái niệm cực trị

Cho hàm số $ \displaystyle (y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên khoảng $ \displaystyle \left( {a;b} \right)$ và điểm $ \displaystyle ({{x}_{0}}\in \left( {a;b} \right)$.

a) Hàm số $ \displaystyle (f\left( x \right)$ đạt cực đại tại $ \displaystyle {{x}_{0}}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \exists h>0,f\left( x \right)<f\left( {{{x}_{0}}} \right),\forall x\in \left( {{{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h} \right)\backslash \left\{ {{{x}_{0}}} \right\}$

Khi đó $f(x_0)$ là giá trị cực đại của hàm số.

b) Hàm số $ \displaystyle (f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $ \displaystyle {{x}_{0}}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \exists h>0,f\left( x \right)>f\left( {{{x}_{0}}} \right),\forall x\in \left( {{{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h} \right)\backslash \left\{ {{{x}_{0}}} \right\}$

Khi đó $f(x_0)$ là giá trị cực tiểu của hàm số.

* Chú ý:

a) Cần phân biệt các các khái niệm:

– Giá trị cực trị của hàm số.

Các định lý về cực trị:

Định lý 1:

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(K = \left( {{x_0} – h;{x_0} + h} \right)\) và có đạo hàm trên \(K\) hoặc \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\left( {h > 0} \right)\).

a) Nếu\(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {{x_0} – h} \right)\\f’\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_0} + h} \right)\end{array} \right.\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số.

b) Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_0} – h} \right)\\f’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {{x_0} + h} \right)\end{array} \right.\)  thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số.

* Chú ý: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Định lý 2:

Giả sử hàm số $ \displaystyle y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $ \displaystyle K = \left( {{x_0} – h;{x_0} + h} \right)$ và có đạo hàm trên $ \displaystyle K$ hoặc $ \displaystyle K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\left( {h > 0} \right)$.

a) Nếu$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {{x_0} – h} \right)\\f’\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_0} + h} \right)\end{array} \right.$ thì $ \displaystyle {x_0}$ là một điểm cực đại của hàm số.

b) Nếu $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_0} – h} \right)\\f’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {{x_0} + h} \right)\end{array} \right.$  thì $ \displaystyle {x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

* Chú ý: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Định lý 2:

Giả sử $ \displaystyle y = f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp 2 trong $ \displaystyle \left( {{x_0} – h;{x_0} + h} \right)\left( {h > 0} \right)$.

a) Nếu$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = 0\\f”\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.$thì $ \displaystyle {x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = 0\\f”\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.$thì $ \displaystyle {x_0}$ là một điểm cực đại của hàm số.

Cách tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Quy tắc tìm cực trị số 1:

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính $ \displaystyle f’\left( x \right)$, tìm các điểm tại đó $ \displaystyle f’\left( x \right) = 0$ hoặc không xác định.

– Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Quy tắc tìm cực trị số 2:

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính $ \displaystyle f’\left( x \right)$, giải phương trình $ \displaystyle f’\left( x \right) = 0$ và kí hiệu $ \displaystyle {x_1},…,{x_n}$ là các nghiệm của nó.

– Bước 3: Tính $ \displaystyle ({f}”\left( x \right)$ và $ \displaystyle ({f}”\left( {{{x}_{i}}} \right)$.

– Bước 4: Dựa và dấu của $ \displaystyle f”\left( {{x_i}} \right)$ suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm $ \displaystyle {x_i}$ mà $ \displaystyle ({f}”\left( {{{x}_{i}}} \right)>0$ thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm $ \displaystyle {x_i}$ mà $ \displaystyle f”\left( {{x_i}} \right) < 0$ thì đó là điểm cực đại của hàm số.

* Chú ý: Đối với các bài toán tìm cực trị của hàm số lượng giác thì dùng quy tắc 2 sẽ thuận tiện hơn, tránh được việc xét dấu đạo hàm.

Bài tập tìm cực trị của hàm số

Bài 1: Tìm cực trị của hàm số $y=2 x^{3}-6 x+2$.

Giải

Tập xác định $D=R$.

Ta có: $y^{\prime}=6 x^{2}-6$. Cho $y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 6 x^{2}-6=0 \Leftrightarrow x=\pm 1$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1, y=6$ và hàm số đạt cực tiểu tại $x=1, y=-2$.

Bài 2: Tìm cực trị của hàm số $y=x^{4}-2 x^{2}+2$.

Giải

Tập xác định $D=R$.

Ta có: $ \displaystyle y^{\prime}=4 x^{3}-4 x$. Cho $y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 4 x^{3}-4 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm 1, y=1$ và hàm số đạt cực đại tại $x=0, y=2$.

Bài 3: Tìm cực trị của hàm số $ \displaystyle y=\frac{2 x-3}{x-2}$

Giải

Tập xác định $ \displaystyle D=R\backslash \{2\}$.

Ta có: $ \displaystyle y^{\prime}=\frac{-1}{(x-2)^{2}} \Rightarrow y^{\prime}>0 \quad \forall x \in D$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.