Giai đoạn 1 – Đầu học kì I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Kiến thức cần ghi nhớ
- Điểm $x_0$ là điểm cực đại hoặc cực tiểu khi hàm số đổi chiều đơn điệu qua $x_0$.
- Nếu $f’$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; đổi từ âm sang dương thì là điểm cực tiểu.
- Phương trình $f'(x)=0$ chỉ cho điểm nghi ngờ cực trị; phải xét dấu hoặc dùng tiêu chuẩn thích hợp.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Tìm cực trị của $f(x)=x^3-3x$.
Cách làm: $f'(x)=3(x-1)(x+1)$. Qua $x=-1$, $f’$ đổi từ dương sang âm nên có cực đại $f(-1)=2$. Qua $x=1$, $f’$ đổi từ âm sang dương nên có cực tiểu $f(1)=-2$.
Bài tập thực hành
- Tìm cực trị của $f(x)=x^2-4x+3$.
- Hàm $f(x)=x^3$ có cực trị không?
- Tìm cực trị của $f(x)=-x^2+2x+1$.
- Nếu $f'(x_0)=0$ thì có chắc $x_0$ là điểm cực trị không?
Bài tập về nhà
- Tìm cực trị của $f(x)=x^3-6x^2+9x$.
- Tìm cực trị của $f(x)=x^4-2x^2$.
- Nêu dấu hiệu cực tiểu qua đạo hàm.
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: $f'(x)=2x-4$ đổi từ âm sang dương tại $x=2$, nên hàm có cực tiểu bằng $f(2)=-1$.
- Cách làm: $f'(x)=3x^2\ge0$ và không đổi dấu qua $0$, nên không có cực trị.
- Cách làm: $f'(x)=-2x+2$ đổi từ dương sang âm tại $x=1$, nên cực đại bằng $f(1)=2$.
- Cách làm: Không. Cần kiểm tra sự đổi dấu của đạo hàm hoặc tiêu chuẩn khác.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $f’=3(x-1)(x-3)$. Đạo hàm đổi $+\to-$ tại $1$ nên cực đại $f(1)=4$; đổi $-\to+$ tại $3$ nên cực tiểu $f(3)=0$.
- Cách làm: $f’=4x(x^2-1)$. Xét dấu tại $-1,0,1$ để được cực tiểu ở $x=\pm1$ với giá trị $-1$, cực đại ở $x=0$ với giá trị $0$.
- Cách làm: $f’$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm đó.