Dạng bài toán hệ phương trình đối xứng thường xuất hiện trong đề thi Toán tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn có dạng:
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=0\\g(x,y)=0\end{array} \right.$, trong đó $ \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=f(y,x)\\g(x,y)=g(y,x)\end{array} \right.$.
Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt $S = x + y, P = xy$ với điều kiện của $S, P$ và $ {{S}^{2}}\ge 4P$.
Bước 3: Thay $ \displaystyle x,y$ bởi $ \displaystyle S,P$ vào hệ phương trình. Giải hệ tìm $ \displaystyle S,P$ rồi dùng Viét đảo tìm $ \displaystyle x,y$.
Chú ý:
+ Cần nhớ: $ \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{S}^{2}}\text{ }2P,{{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{S}^{3}}\text{ }3SP.$
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ $ \displaystyle u=u\left( x \right),v=v\left( x \right)$ và $ \displaystyle S=u+v,\text{ }P\text{ }=uv.$
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=30\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=35\end{array} \right.$.
Giải
Đặt $ \text{S}=x+y,\text{ P}=xy$, điều kiện $ {{S}^{2}}\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:
$ \left\{ \begin{array}{l}SP=30\\S({{S}^{2}}-3P)=35\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P=\frac{30}{S}\\S\left( {{S}^{2}}-\frac{90}{S} \right)=35\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=5\\P=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+y=5\\xy=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=2\end{array} \right.$
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}xy(x-y)=-2\\{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=2\end{array} \right.$.
Giải
Đặt $ t=-y,\text{ }S=x+t,\text{ }P=xt$, điều kiện $ {{S}^{2}}\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:
$ \left\{ \begin{array}{l}xt(x+t)=2\\{{x}^{3}}+{{t}^{3}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP=2\\{{S}^{3}}-3SP=2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=2\\P=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\t=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-1\end{array} \right.$
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=4\end{array} \right.$.
Giải
Điều kiện $ x\ne 0,y\ne 0$.
Hệ phương trình tương đương với: $ \left\{ \begin{array}{l}\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\\{{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}=8\end{array} \right.$
Đặt $ S=\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right),P=\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right),{{S}^{2}}\ge 4P$ ta có:
$ \left\{ \begin{array}{l}S=4\\{{S}^{2}}-2P=8\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=4\\P=4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\\\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+\frac{1}{x}=2\\y+\frac{1}{y}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=1\end{array} \right.$
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\,\,\text{ }(1)\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\text{ }\,\,\,\,\text{ }\,\text{ }\,\text{ }(2)\end{array} \right.$.
Giải
Điều kiện $ x,y\ge 0$. Đặt $ t=\sqrt{xy}\ge 0$, ta có:
$ xy={{t}^{2}}$ và $ (2)\Rightarrow x+y=16-2t$.
Thế vào (1), ta được: $ \sqrt{{{t}^{2}}-32t+128}=8-t\Leftrightarrow t=4$
Suy ra: $ \left\{ \begin{array}{l}xy=16\\x+y=8\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=4\\y=4\end{array} \right.$
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn có dạng:
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=0\,\,\,\left( 1 \right)\\f(y,x)=0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Cách giải: Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: $ \displaystyle (x-y)g\left( x,y \right)=0$.
Khi đó $ \displaystyle x-y=0$ hoặc $ \displaystyle g\left( x,y \right)=0.$
+ Trường hợp 1: $ \displaystyle x-y=0$ kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: $ \displaystyle g\left( x,y \right)=0$ kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=3x+8y\,\,\,\left( 1 \right)\\{{y}^{3}}=3y+8x\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ (I)
Giải
Lấy (1) – (2) ta được: $ \displaystyle \text{(x – y)(}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + xy + }{{\text{y}}^{\text{2}}}\text{ + 5) = 0}$
Trường hợp 1: (I) $ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}\text{ }=\text{ }3x\text{ }+\text{ }8y\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.$
⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}\text{ }-\text{ }11x\text{ }=\text{ }0\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x\text{ }=\text{ }0\\x\text{ }=\text{ }\pm \sqrt{11}\end{array} \right.\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.$.
Trường hợp 2: (I) $ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}+5=0\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=11\left( x+y \right)\end{array} \right.$ (hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
$ \displaystyle \left\{ \text{(x}\text{, y)} \right\}\text{=}\left\{ \text{(0}\text{,0); (}\sqrt{\text{11}}\text{,}\sqrt{\text{11}}\text{); (-}\sqrt{\text{11}}\text{,-}\sqrt{\text{11}}\text{)} \right\}$
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+\sqrt[4]{y-1}=1\\y+\sqrt[4]{x-1}=1\end{array} \right.$
Giải
Đặt: $ \displaystyle \sqrt[\text{4}]{\text{x – 1}}\text{ = u }\ge \text{0; }\sqrt[\text{4}]{\text{y – 1}}\text{ = v}\ge \text{0}$
Hệ phương trình trở thành:
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{u}^{4}}\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }v\text{ }=\text{ }1\\{{v}^{4}}\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }u\text{ }=\text{ }1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{u}^{4}}\text{ }+\text{ }v\text{ }=\text{ }0\\{{v}^{4}}\text{ }+\text{ }u\text{ }=\text{ }0\end{array} \right.$
⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u\text{ }=\text{ }0\\v\text{ }=\text{ }0\end{array} \right.$
(Do u, v ≥ 0) $ \displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x = 1}\\\text{y = 1}\end{array} \right.$.
Vậy hệ có nghiệm (1,1)