Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là nội dung nền tảng của Toán 9 và thường được nâng cao trong đề HSG bằng các bài có tham số, điều kiện nghiệm nguyên, bài toán đồng quy hoặc bài toán thực tế. Phần quan trọng nhất là hiểu bản chất của phép thế và phép cộng đại số, không chỉ học thuộc thao tác.
1. Dạng tổng quát
Một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
\(a_1x+b_1y=c_1\), \(a_2x+b_2y=c_2\).
Ở mức cơ bản, dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Ở mức HSG, các hệ số thường chứa tham số nên phải xét riêng những giá trị làm bước chia hoặc khử ẩn mất hiệu lực.
2. Ví dụ cơ bản bằng cộng đại số
Giải hệ \(2x+y=7\), \(3x-y=8\).
Cộng theo vế được \(5x=15\Rightarrow x=3\). Thay ngược lại, \(y=1\).
3. Biện luận hệ có tham số
Xét hệ:
\(mx+y=1\), \(x+my=1\).
Trừ hai phương trình:
\((m-1)(x-y)=0\).
- Nếu \(m\ne1\), suy ra \(x=y\). Khi đó \((m+1)x=1\). Nếu thêm \(m\ne-1\), hệ có nghiệm duy nhất \(x=y=\dfrac{1}{m+1}\).
- Nếu \(m=1\), hai phương trình trùng nhau \(x+y=1\), hệ có vô số nghiệm.
- Nếu \(m=-1\), hai phương trình trở thành \(-x+y=1\) và \(x-y=1\), mâu thuẫn nhau; hệ vô nghiệm.
4. Điều kiện nghiệm nguyên
Với bài yêu cầu nghiệm nguyên, sau khi giải hệ theo tham số thường xuất hiện các phân thức. Khi đó cần biến đổi để mẫu phải là ước của một số nguyên cố định.
Ví dụ nếu thu được \(x=2+\dfrac{3}{m-1}\), muốn \(x\) nguyên với \(m\) nguyên thì \(m-1\) phải là ước của 3. Ta xét \(m-1\in\{\pm1,\pm3\}\).
5. Ba đường thẳng đồng quy
Để ba đường thẳng đồng quy, có thể tìm giao điểm của hai đường đầu bằng một hệ hai ẩn, rồi thay tọa độ giao điểm vào phương trình đường thẳng thứ ba. Đây là ứng dụng rất phổ biến của hệ phương trình trong bài tọa độ lớp 9.
6. Dạng bài thực tế
Các bài chuyển động, năng suất, phần trăm, tuổi hoặc chia số thường dẫn tới hệ hai phương trình. Cần đặt ẩn có đơn vị rõ ràng và ghi điều kiện trước khi lập hệ.
7. Lỗi thường gặp ở bài HSG
- Chia cho biểu thức chứa tham số mà chưa xét trường hợp biểu thức bằng 0.
- Kết luận “vô số nghiệm” chỉ vì hai hệ số bằng nhau nhưng chưa kiểm tra cả hai phương trình có tương đương không.
- Tìm được nghiệm theo tham số nhưng không đối chiếu điều kiện nghiệm nguyên hoặc nghiệm dương.
8. Bài tập tự luyện
- Giải hệ \(x+y=5\), \(2x-y=1\).
- Biện luận theo \(m\) hệ \(mx+y=2\), \(x-y=1\).
- Tìm \(m\) để đường thẳng \(2x-y=m\) đi qua giao điểm của \(x+y=5\) và \(x-y=1\).
Đáp số: (1) \((2;3)\); (2) \(m\ne-1\): nghiệm duy nhất \(\left(\dfrac{3}{m+1};\dfrac{2-m}{m+1}\right)\), \(m=-1\): vô nghiệm; (3) giao điểm \((3;2)\), nên \(m=4\).
Xem thêm Ôn HSG – Thi chuyên Toán THCS.
Tài liệu, hình ảnh và file gốc
Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ôn thi HSG Toán 9 ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 có lý thuyết và ví dụ, các câu trong đề thi HSG Toán 9.