Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức – Đại số 7

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) ta biến đổi biểu thức về dưới dạng: hằng số cộng (trừ) với một biểu thức không âm.

*Lưu ý: $ \displaystyle A^{2}\ge ~0;-A^{2}\le \text{ }0;\left| A \right|\ge 0;-\left| A \right|\le 0$

BÀI TẬP MINH HỌA

11A. Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của các biểu thức:

a) A = 2x² + 1;         b) B = – 3x² – l;               c) C = |- 3x²|.
11B.   Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của các biểu thức:

a) A = 2 (x +1)² +1;

b) B = -3(x +1)² -1;

c) C = |-3(x – l)²|

12A. Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của các biểu thức:

a) A = (x – 2)² + |y – 3| + 1;

b) B = |x² – 1| + (x – 1)² + y²

c) C = $ \displaystyle \dfrac{1}{{2{(x+1)}^{2}+1}}$

12B.   Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của các biểu thức:

a) A = ( 2x – 3)² + $ \displaystyle \left( {y-\dfrac{1}{2}} \right)^{2}+2017$
b) B = 2(x +1)² + |-3(x² – l)|;

c) C = $ \displaystyle \dfrac{{-1}}{{2{(x+1)}^{2}+1}}$

HƯỚNG DẪN GIẢI

11A. a) Với mọi x $ \displaystyle \in $ R ta có 2x² $ \displaystyle \ge $ 0. Do đó 2x² +1 $ \displaystyle \ge $ 1.

Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN) bằng 1 khi x = 0.

b) Với mọi x$ \displaystyle \in $ R ta có -3x² $ \displaystyle \le $ Do đó -3x² -1 $ \displaystyle \le $ -1. Vậy biểu thức B đạt giá trị lớn nhất (GTLN) bằng -1, khi x = 0.

c) Với mọi x$ \displaystyle \in $R ta có |x²| $ \displaystyle \ge $ Do đó |-3x²| $ \displaystyle \ge $0
Vậy biểu |-3x²|  đạt GTNN bằng 0, khi x = 0.

11B.   Tương tự 11A.      a) A đạt GTNN bằng 1 khi x = – l.

b) B đạt GTLN bằng 0, khi x = -1.

c) C đạt GTNN bằng 0 khi x = 1.

12A. a) Với x, y $ \displaystyle \in $ R ta có (x – 2)² $ \displaystyle \ge $ 0; |y – 3| $ \displaystyle \ge $ 0.

Do đó (x – 2)² + |y – 3| + l $ \displaystyle \ge $ 1.

Vậy GTNN của A bằng 1 khi x = 2, y = 3.

b) Với x, y $ \displaystyle \in $ R ta có (x – l)² $ \displaystyle \ge $ 0; |x² -1| $ \displaystyle \ge $ 0; y² $ \displaystyle \ge $
Do đó |x²  – 1| + (x – l) + y² $ \displaystyle \ge $ 0 .

Vậy GTNN của B bằng 0, khi x = 1; y = 0.

c) Theo câu 11B GTLN C = 1 khi mẫu số đạt GTNN hay x = – 1

12B.   a) A_min = 2017 khi $ \displaystyle x=\dfrac{3}{2};y=\dfrac{1}{2}$

b) B_max = 0 khi x = – 1

c) C_min = -1 khi x = -1