Chọn điểm rơi là cách thiết kế phép đánh giá sao cho dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra đúng tại giá trị mà ta dự đoán là điểm đạt cực trị. Đây không phải một công thức riêng; nó là nguyên tắc giúp chọn cách tách khi dùng AM-GM, Cauchy–Schwarz hoặc các đánh giá quen thuộc.
Phạm vi: Đây là nội dung Toán THCS nâng cao, phù hợp học sinh khá giỏi, ôn HSG và thi vào lớp 10 chuyên; không phải toàn bộ kiến thức trong bài đều thuộc yêu cầu chính khóa.
1. Điểm rơi là gì?
Giả sử cần tìm GTNN của biểu thức \(P(x)\). Nếu dự đoán GTNN đạt tại \(x=x_0\), thì mọi bước đánh giá trong lời giải lý tưởng phải có khả năng đạt dấu bằng tại \(x_0\). Nếu một bước chỉ đạt dấu bằng tại \(x=1\) còn bước khác chỉ đạt tại \(x=2\), cận cuối thường không thể đạt được.
2. Ví dụ cơ bản
Với \(x>0\), tìm GTNN của \(P=x+\dfrac4x\).
Hai hạng tử bằng nhau khi \(x=\dfrac4x\), tức \(x=2\). Áp dụng AM-GM:
\[x+\dfrac4x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac4x}=4.\]
Dấu bằng đúng tại \(x=2\). Vì điểm đạt cận thuộc miền xác định, GTNN của \(P\) là \(4\).
3. Khi hệ số làm điểm rơi bị lệch
Xét \(Q=2x+\dfrac8x\) với \(x>0\). Nếu áp dụng AM-GM trực tiếp cho hai hạng, điều kiện dấu bằng là \(2x=\dfrac8x\), cho \(x=2\). Ta được \(Q\ge 8\), dấu bằng tại \(x=2\). Ở đây phép ghép đã tự khớp điểm rơi.
Nhưng với biểu thức nhiều hạng, một cách ghép tùy ý có thể tạo ra điều kiện dấu bằng sai. Khi đó cần tách một hạng thành nhiều phần hoặc thêm bớt để các điều kiện dấu bằng đồng thời xảy ra tại cùng một điểm.
4. Cách dự đoán điểm rơi
- Biểu thức đối xứng thường gợi ý các biến bằng nhau.
- Điều kiện tổng cố định thường gợi ý phân bố đều, nhưng phải kiểm chứng.
- Dạng \(ax+\dfrac b x\) gợi ý \(ax=\dfrac b x\).
- Nếu đề cho một giá trị đặc biệt hoặc biên của miền, hãy kiểm tra nó trước.
5. Quy trình dùng điểm rơi
- Xác định miền biến và hướng cần đánh giá.
- Dự đoán điểm đạt cực trị.
- Viết điều kiện dấu bằng của công cụ định dùng.
- Điều chỉnh phép tách để điều kiện dấu bằng trùng với điểm dự đoán.
- Chứng minh cận cho toàn miền.
- Thay điểm rơi vào để xác nhận cận đạt được.
6. Sai lầm thường gặp
Sai lầm phổ biến nhất là “đoán đúng đáp số nhưng chứng minh bằng một cận không đạt”. Cũng không nên chọn điểm rơi chỉ vì thử vài giá trị bằng máy tính. Điểm rơi là gợi ý để thiết kế chứng minh, còn chứng minh phải đúng với mọi giá trị trong miền.
7. Bài tự luyện
- Với \(x>0\), tìm GTNN của \(3x+\dfrac{12}{x}\) và chỉ rõ điểm rơi.
- Với \(a,b>0\), \(a+b=6\), tìm GTLN của \(ab\).
- Giải thích vì sao một chuỗi đánh giá có các điều kiện dấu bằng mâu thuẫn không thể dùng để kết luận cực trị.