Mục lục
LÝ THUYẾT
Điểm rơi có vai trò quan trọng khi sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức. Vậy dự đoán điểm rơi như nào?
Điểm rơi là gì?
Trả lời: Điểm rơi ở đây chính là giá trị của biến làm dấu bằng xảy ra.
Dự đoán dấu bằng “=”
Các dấu hiệu nhận biết thường thấy:
– Nếu biểu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN, GTNN của biểu thức thường đạt được tại vị trí biên
– Nếu biểu thức có tính đối xứng thì dấu “=” thường xảy ra khi các biến bằng nhau.
– Nếu biểu thức không có tính đối xứng thì tuỳ theo bài toán mà linh hoạt áp dụng.
Mục đích: Xác định giá trị các biến và GTLN, GTNN của biểu thức tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu.
ÁP DỤNG
Học cách xác định điểm rơi qua những ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1: Cho $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \leq \sqrt{6}$
Giải:
Nhận thấy: biểu thức có tính đối xứng.
Vì $a + b + c = 1$ ⇒ dấu “=” xảy ra khi $ a=b=c=\dfrac{1}{3}$
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số $(a + b)$ và $k (k>0)$
Khi áp dụng BĐT Cosi thì dấu “=” xảy ra ⇔ $ k=a+b=~\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Ta có:
$ \sqrt{\dfrac{2}{3}(a+b)} \leq \dfrac{\dfrac{2}{3}+a+b}{2}$ (1)
$ \sqrt{\dfrac{2}{3}(a+c)} \leq \dfrac{\dfrac{2}{3}+a+c}{2}$ (2)
$ \sqrt{\dfrac{2}{3}(b+c)} \leq \dfrac{\dfrac{2}{3}+b+c}{2}$ (3)
Cộng (1), (2) và (3) lại ta có:
$ \sqrt{{\dfrac{2}{3}(a+b)}}+\sqrt{{\dfrac{2}{3}(a+c)}}+\sqrt{{\dfrac{2}{3}(b+c)}}\le \dfrac{{\dfrac{2}{3}+a+b}}{2}+\dfrac{{\dfrac{2}{3}+a+c}}{2}+\dfrac{{\dfrac{2}{3}+b+c}}{2}$
⇔ $ \sqrt{{\dfrac{2}{3}}}\left( {\sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}} \right)\le \dfrac{{2+2(a+b+c)}}{2}=2$
⇔ $ \sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}\le \sqrt{6}$
⇒ Điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Cho x, y, z > 0 thỏa $ x+y+z\le \dfrac{3}{2}$. Tìm GTNN của $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$.
Giải:
Do A là biểu thức đối xứng theo x, y, z nên dự đoán A đạt GTNN tại $ x=y=z=\dfrac{1}{2}$.
Để dùng được bất đẳng thức Cosi cần tách:
$ x^{2}+\dfrac{1}{x}=x^{2}+\dfrac{m}{x}+\dfrac{n}{x}$
Khi áp dụng BĐT Cosi cho 3 số thì dấu “=” xảy ra ⇔ $ x^{2}=\dfrac{\mathrm{m}}{x}=\dfrac{\mathrm{n}}{x}$
$ x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow m=n=\dfrac{1}{8}$
Khi đó:
$ \begin{array}{l}A=\left( {{{x}^{2}}+\dfrac{1}{x}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\dfrac{1}{y}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\dfrac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{8x}}+\dfrac{1}{{8x}}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\dfrac{1}{{8y}}+\dfrac{1}{{8y}}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\dfrac{1}{{8z}}+\dfrac{1}{{8z}}} \right)+\dfrac{6}{8}\left( {\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,\ge 3\sqrt[3]{{{{x}^{2}}\dfrac{1}{{8x}}\dfrac{1}{{8x}}}}+3\sqrt[3]{{{{y}^{2}}\dfrac{1}{{8y}}\dfrac{1}{{8y}}}}+3\sqrt[3]{{{{z}^{2}}\dfrac{1}{{8z}}\dfrac{1}{{8z}}}}+\dfrac{3}{4}\dfrac{9}{{(x+y+z)}}\ge \dfrac{9}{4}+\dfrac{{27}}{4}\dfrac{2}{3}=\dfrac{{27}}{4}\end{array}$
Dấu “=” xảy ra ⇔ $ x=y=z=\dfrac{1}{2}$