Bất đẳng thức ở THCS thường khiến học sinh thấy “khó đoán” vì một bài có thể giải bằng nhiều hướng khác nhau. Cách học hiệu quả là xây dần một thư viện phương pháp, thay vì cố thuộc lời giải của từng bài.
Phạm vi: Đây là nội dung Toán THCS nâng cao, phù hợp học sinh khá giỏi, ôn HSG và thi vào lớp 10 chuyên; không phải toàn bộ kiến thức trong bài đều thuộc yêu cầu chính khóa.
Bất đẳng thức trong chương trình THCS hiện nay
Trong chương trình mới, bất đẳng thức và các tính chất của bất đẳng thức được học chính thức ở lớp 9; ngoài ra các ý tưởng so sánh, đánh giá, tìm GTLN–GTNN còn xuất hiện trong nhiều bài đại số trước đó. Với học sinh ôn HSG hoặc thi chuyên, phạm vi thường rộng hơn sách giáo khoa.
1. Bắt đầu từ các bất đẳng thức nền
Cần chắc các kết quả như \((a-b)^2\ge0\), AM-GM cho các số không âm, Cauchy–Schwarz/Bunhiacopxki và các hệ quả đơn giản. Mỗi công thức phải đi kèm điều kiện và trường hợp dấu bằng.
2. Học theo “dấu hiệu nhận dạng”
- Có tổng bình phương: nghĩ tới xét hiệu hoặc Cauchy–Schwarz.
- Có \(x+\dfrac{k}{x}\), \(x>0\): nghĩ tới AM-GM.
- Có tổng hoặc tích cố định: kiểm tra cận từ AM-GM hay bình phương không âm.
- Biểu thức đối xứng: thử điểm \(a=b=c\) để dự đoán dấu bằng.
- Có tham số hoặc miền hẹp: chú ý điểm rơi tự nhiên có thuộc miền hay không.
3. Không phải cứ dùng bất đẳng thức mạnh là tốt
Một đánh giá chỉ hữu ích khi đủ chặt cho mục tiêu. Nếu cận không đạt được dưới điều kiện đề bài, nó chưa chứng minh được GTLN/GTNN. Vì vậy sau mỗi chuỗi đánh giá cần kiểm tra dấu bằng.
4. Trình bày lời giải
Không viết “theo Cô-si” rồi bỏ qua điều kiện. Hãy nêu rõ các đại lượng không âm/dương, viết bất đẳng thức áp dụng và điều kiện dấu bằng. Với bài nhiều bước, mỗi phép biến đổi nên có mục đích rõ: tạo nhân tử, tạo tổng bình phương hoặc đưa về một bổ đề quen thuộc.
5. Lộ trình luyện tập
- Biến đổi tương đương và bình phương không âm.
- AM-GM và các bài tổng – tích.
- Cauchy–Schwarz/Bunhiacopxki.
- Điểm rơi, ghép cặp, thêm bớt.
- Bài tổng hợp HSG, thi chuyên.
Đề tuyển sinh lớp 10 và đề HSG thay đổi theo địa phương, năm học và đối tượng tuyển sinh; không nên mặc định câu cuối của mọi đề đều là bất đẳng thức. Khi luyện cho một kỳ thi cụ thể, cần đối chiếu đề gần nhất của đơn vị tổ chức.