Làm trội – làm giảm là phương pháp thay một phần biểu thức bằng một cận lớn hơn hoặc nhỏ hơn theo đúng hướng cần chứng minh. Kỹ thuật này đặc biệt hữu ích khi biểu thức phức tạp nhưng từng thành phần có thể so sánh với các biểu thức đơn giản hơn.
Phạm vi: Đây là nội dung Toán THCS nâng cao, phù hợp học sinh khá giỏi, ôn HSG và thi vào lớp 10 chuyên; không phải toàn bộ kiến thức trong bài đều thuộc yêu cầu chính khóa.
1. Hiểu đúng chiều đánh giá
Nếu cần chứng minh \(A\le M\), ta có thể tìm \(A\le B\le M\). Khi đó \(B\) là một biểu thức “làm trội” so với \(A\). Ngược lại, để chứng minh \(A\ge m\), ta có thể tìm \(A\ge B\ge m\). Điều quan trọng là chuỗi bất đẳng thức phải cùng hướng với mục tiêu.
2. Ví dụ điển hình
Với \(0\le x\le1\):
\[x(1-x)=\dfrac14-\left(x-\dfrac12\right)^2\le\dfrac14.\]
Ở đây ta “làm trội” \(x(1-x)\) bởi \(1/4\). Cận sắc vì dấu bằng xảy ra tại \(x=1/2\).
3. Cận sắc và cận không sắc
Một cận có thể đúng nhưng quá yếu. Ví dụ từ \(0\le x\le1\) suy ra \(x(1-x)\le1\) là đúng, nhưng không giúp tìm GTLN chính xác. Khi giải cực trị, cần ưu tiên cận có thể đạt được.
4. Nguồn tạo cận thường dùng
- Bình phương không âm: \((a-b)^2\ge0\).
- AM-GM cho các hạng không âm.
- Cauchy–Schwarz cho tổng bình phương hoặc phân thức.
- So sánh mẫu/tử khi biết dấu.
- Điều kiện của đề như \(a+b\) cố định, \(0\le x\le1\).
5. Quy trình
- Xác định cần cận trên hay cận dưới.
- Tìm một thành phần khó và một cận đơn giản hơn.
- Kiểm tra điều kiện để phép so sánh đúng.
- Ưu tiên cận có cùng điểm dấu bằng với cực trị dự kiến.
- Ghép các cận và kiểm tra trường hợp đạt.
6. Sai lầm thường gặp
- Đánh giá đúng từng phần nhưng ghép lại sai chiều.
- Thay mẫu số bởi số lớn hơn mà quên tử và mẫu phải có dấu thích hợp.
- Dùng cận không đạt rồi kết luận đó là GTLN/GTNN.
- Làm trội quá mạnh khiến mất cấu trúc điều kiện dấu bằng.
7. Bài tự luyện
Với \(a,b\ge0\) và \(a+b=10\), hãy dùng \((a-b)^2\ge0\) để làm trội tích \(ab\) và tìm GTLN của \(ab\).
Bài viết liên quan
- Chuyên đề Bất đẳng thức và Cực trị THCS
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki
- Bất đẳng thức Cosi (AM-GM)
- Một số bài toán Bất đẳng thức chọn lọc thi vào 10 năm 2023
- 14 bổ đề bất đẳng thức thường gặp
Mở rộng: làm trội – làm giảm nhưng phải giữ đúng chiều
“Làm trội” hay “làm giảm” là thay một biểu thức bởi một cận dễ xử lý hơn. Điều quan trọng nhất là chiều đánh giá.
Nếu cần chứng minh \(A\ge B\), ta có thể tìm \(A\ge C\) rồi chứng minh \(C\ge B\). Ngược lại, nếu cần \(A\le B\), phải xây cận trên cho \(A\).
Ví dụ đơn giản
Với \(x>0\):
\(\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{x}\).
Vì mẫu \(x+1>x>0\), phân số có mẫu lớn hơn thì nhỏ hơn. Đây là một đánh giá đúng chiều có thể dùng để so sánh tổng các phân thức.
Kiểm tra độ sắc
Một cận có thể đúng nhưng quá thô. Trong bài cực trị, hãy kiểm tra xem cận có đạt dấu bằng tại điểm dự đoán hay không.