Phương pháp làm trội, làm giảm là một trong những phương pháp hay được dùng trong chứng minh bất đẳng thức.
Các em xem các ví dụ dưới đây để hiểu rõ về phương pháp này.
Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng: $ 1<\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<2$
Giải:
Ta có : $ \dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a}{a+b}$ ; $ \dfrac{b}{a+b+c}<\dfrac{b}{b+c}$ ; $ \dfrac{c}{a+b+c}<\dfrac{c}{c+a}$
Suy ra: $ \dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}<\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$
⇔ $ 1<\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$
Ta lại có: $ \dfrac{a}{a+b}<\dfrac{a+c}{a+b+c}$ (điều này dễ chứng minh được)
Tương tự:
$ \dfrac{b}{b+c}<\dfrac{a+b}{a+b+c}$ ;
$ \dfrac{c}{c+a}<\dfrac{c+b}{a+b+c}$
Suy ra: $ \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<\dfrac{2\left( a+b+c \right)}{a+b+c}$ = 2
⇔ $ \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<2$
Vậy: $ 1<\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<2$
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 thì:
$ \dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}<1$
Giải:
Ta có : $ \dfrac{1}{{{k}^{2}}}=\dfrac{1}{k.k}<\dfrac{1}{k\left( k-1 \right)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$
Nên:
$ \dfrac{1}{{{2}^{2}}}<\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}$ ;
$ \dfrac{1}{{{3}^{2}}}<\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$
……..
$ \dfrac{1}{{{n}^{2}}}<\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}$
Suy ra: $ \dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}<1-\dfrac{1}{n}$ <1
Vậy: $ \dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}<1$