Biến đổi tương đương là phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách đưa mệnh đề cần chứng minh về một bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Điểm quan trọng là mỗi bước phải thực sự tương đương; nếu có bước chỉ là suy ra một chiều, ta không được dùng ký hiệu \(\Leftrightarrow\).
1. Nguyên tắc
Để chứng minh \(A\ge B\), ta có thể biến đổi:
\[A\ge B\Leftrightarrow A-B\ge0\Leftrightarrow \text{một tổng các biểu thức không âm}\ge0.\]
Phương pháp đặc biệt phù hợp với đa thức, phân thức có mẫu đã biết dấu và các bất đẳng thức có thể hoàn thành bình phương.
2. Ví dụ 1: phân thức
Cho \(a,b\) cùng dấu và khác 0. Chứng minh \(\dfrac ab+\dfrac ba\ge2\).
Vì \(ab>0\):
\[\dfrac ab+\dfrac ba\ge2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow(a-b)^2\ge0.\]
Dấu bằng khi \(a=b\).
3. Ví dụ 2: có điều kiện tổng
Cho \(a+b=1\). Chứng minh \(a^3+b^3+ab\ge\dfrac12\).
Dùng \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=1-3ab\), vế trái bằng \(1-2ab\). Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương \(ab\le\dfrac14\), mà
\[(a-b)^2\ge0\Rightarrow(a+b)^2\ge4ab\Rightarrow ab\le\dfrac14.\]
Dấu bằng khi \(a=b=\dfrac12\).
4. Ví dụ 3: Cauchy–Schwarz cho hai chiều
Với các số thực \(a,b,x,y\):
\[(ax+by)^2\le(a^2+b^2)(x^2+y^2).\]
Chuyển vế và khai triển:
\[(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2=(ay-bx)^2\ge0.\]
Dấu bằng khi \(ay=bx\). Không nên viết \(\dfrac ax=\dfrac by\) nếu chưa biết \(x,y\ne0\).
5. Ví dụ 4: giá trị tuyệt đối
Với mọi số thực \(x,y\), chứng minh \(|x|+|y|\ge|x+y|\). Hai vế đều không âm nên có thể bình phương tương đương:
\[(|x|+|y|)^2\ge|x+y|^2\Leftrightarrow |xy|\ge xy.\]
Mệnh đề cuối đúng với mọi \(x,y\). Dấu bằng xảy ra khi \(xy\ge0\).
6. Những phép biến đổi cần thận trọng
- Nhân/chia với biểu thức chứa ẩn: phải biết dấu và trường hợp bằng 0.
- Bình phương hai vế: chỉ tương đương khi hai vế cùng không âm hoặc đã xét dấu đầy đủ.
- Lấy căn: cần điều kiện xác định.
- Nghịch đảo: phải biết dấu và khác 0.
7. Mẹo kiểm tra lời giải
Sau khi viết chuỗi \(\Leftrightarrow\), hãy đọc ngược từ dòng cuối về dòng đầu. Nếu có một bước không thể đảo ngược dưới điều kiện đã cho, bước đó chỉ nên dùng \(\Rightarrow\) và cần bổ sung lập luận.
Bài viết liên quan
- Chuyên đề Bất đẳng thức và Cực trị THCS
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki
- Bất đẳng thức Cosi (AM-GM)
- Một số bài toán Bất đẳng thức chọn lọc thi vào 10 năm 2023
- 14 bổ đề bất đẳng thức thường gặp
Mở rộng: quy trình biến đổi tương đương trong chứng minh BĐT
- Chuyển toàn bộ về một vế.
- Quy đồng hoặc phân tích nhân tử nếu có phân thức.
- Tìm cấu trúc bình phương, hiệu hai bình phương hoặc tích có dấu xác định.
- Kiểm tra mọi bước có thật sự tương đương hay chỉ là suy ra một chiều.
Ví dụ
Với \(a,b>0\), chứng minh:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\).
Quy đồng:
\(\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{(a-b)^2}{ab}\ge0\).
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\).
Một lời giải tốt không chỉ ra kết quả đúng mà còn chỉ ra vì sao mẫu dương, vì sao bình phương không âm và khi nào dấu bằng xảy ra.