Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương chứng minh BĐT

Bằng các phép biến đổi tương đương chúng ta có thể biến đổi bất đẳng thức cần phải chứng minh về bất đẳng thức đúng, BĐT đã được thừa nhận.

Phương pháp chung:

Để chứng minh A > B ta dùng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi sao cho:

A > B  ⇔ …..⇔ C > D

Trong đó bất đẳng thức C >D là một bất đẳng thức đúng (được thừa nhận).

Từ đó đi đến kết luận.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Cho a và b là hai số cùng dấu:

Chứng minh rằng: $ \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$

Giải

Giả sử: $ \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$  (1)

⇔ a² + b² ≥ 2ab    (vì a và b cùng dấu nên ab > 0)

⇔ a² + b² –  2ab ≥ 0

⇔ (a – b)² ≥ 0   (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng . Mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy $ \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$ (với a và b cùng dấu)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Ví dụ 2:

Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 1.

Chứng minh rằng: a³ + b³ + ab $ \displaystyle\ge \frac{1}{2}$

Giải:

Giả sử   a³ + b³ + ab ≥ $ \displaystyle\frac{1}{2}$       (1)

⇔ a³ + b³ + ab – $ \displaystyle\frac{1}{2}$ ≥ 0

⇔ (a + b)(a² + b² – ab) + ab – $ \displaystyle\frac{1}{2}$ ≥ 0

⇔ a² + b² – $ \displaystyle\frac{1}{2}$ ≥ 0              (vì a + b = 1)

⇔ 2a² + 2 b² – 1 ≥ 0

⇔ 2a² + 2(1 – a)² – 1 ≥ 0         (vì b = 1- a)

⇔ 4a² – 4a + 1 ≥ 0

⇔ (2a – 1)² ≥ 0       (2)

Bất đẳng thức (2) là BĐT đúng, mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy a³ + b³ + ab ≥ $ \displaystyle \frac{1}{2}$        (với a + b = 1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = $ \displaystyle\frac{1}{2}$

Ví dụ 3: Cho a và b là hai số dương. Chứng minh rằng: $ \displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$

Giải

Giả sử:  $ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$  (1)

$ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{b+a}{ab}\ge \frac{4}{a+b}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab$  (vì a > 0 và b > 0)

⇔ a² + 2ab + b² – 4ab ≥ 0

⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0

⇔ (a – b)² ≥ 0                 (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy: $ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ (với a > 0, b > 0)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Ví dụ 4: Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{x}, \mathrm{y}$ là các số thực. Chứng minh rằng: $\displaystyle (\text{ax}+\text{by})^{2}\le \left( {\text{a}^{2}+\text{b}^{2}} \right)\left( {\text{x}^{2}+} \right.\left. {y^{2}} \right)$
Giải
Giả sử $\quad(a x+b y)^{2} \leq\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)(1)$

$\Leftrightarrow(a x)^{2}+2 a x b y+(b y)^{2} \leq(a x)^{2}+(a y)^{2}+(b x)^{2}+(b y)^{2}$

$\Leftrightarrow(a y)^{2}+(b x)^{2}-2$ ay $b x \geq 0$

$\Leftrightarrow(\text { ay }-b x)^{2} \geq 0$

Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy $(\mathrm{ax}+\mathrm{by})^{2} \leq\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right)$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ay=bx$ hay $\displaystyle\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

Ví dụ 5: Cho $\mathrm{x}$ và y là các số thực. Chứng minh rằng: $|\mathrm{x}|+|\mathrm{y}| \geq|\mathrm{x}+\mathrm{y}|$

Giải:

Giả sử $\quad|\mathrm{x}|+|\mathrm{y}| \geq|\mathrm{x}+\mathrm{y}|$

(1) $\Leftrightarrow(|\mathrm{x}|+|\mathrm{y}|)^{2} \geq(|\mathrm{x}+\mathrm{y}|)^{2}$

$\Leftrightarrow \mathrm{x}^{2}+2|\mathrm{xy}|+\mathrm{y}^{2} \geq \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{xy}+\mathrm{y}^{2}$

$\Leftrightarrow \quad|x y| \geq x y \quad(2)$

Vì BĐT (2) là một BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng Vậy $:|\mathrm{x}|+|\mathrm{y}| \geq|\mathrm{x}+\mathrm{y}|$

Dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi $\mathrm{xy} \geq 0$