Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki trước đây có tên gọi là bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz tên của 3 nhà toán học nổi tiếng.

Đó chính là Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, Hermann Amandus Schwarz.

Bất đẳng thức này được ứng dụng trong việc giải nhiều bài tập ở bậc THCS và THPT.

+ Cho hai dãy số tùy ý $\displaystyle a_{1};\,\,a_{2};\,\,a_{3};\,\,…;\,\,a_{n}$ và $\displaystyle b_{1};\,\,b_{2};\,\,b_{3};\,\,…;\,\,b_{n}$. Khi đó ta có:

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

Dạng 1: $\displaystyle \left( {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}} \right)\left( {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2}} \right)\ge \left( {a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}} \right)^{2}$

Dạng 2: $\displaystyle \sqrt{{\left( {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}} \right)\left( {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2}} \right)}}\ge \left| {a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}} \right|$

– Dấu đẳng thức xảy ra: $\displaystyle \dfrac{{a_{1}}}{{b_{1}}}=\dfrac{{a_{2}}}{{b_{2}}}=…=\dfrac{{a_{n}}}{{b_{n}}}$

Dạng 3: $\displaystyle \sqrt{{\left( {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}} \right)\left( {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2}} \right)}}\ge a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là: $\displaystyle \dfrac{{a_{1}}}{{b_{1}}}=\dfrac{{a_{2}}}{{b_{2}}}=…=\dfrac{{a_{n}}}{{b_{n}}}\ge 0$

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Cho hai dãy số tùy ý $\displaystyle a_{1};\,\,a_{2};\,\,\,…;\,\,a_{n}$ và $\displaystyle x_{1};\,\,x_{2};\,\,…;\,\,x_{n}$với $\displaystyle x_{1};\,\,x_{2};\,\,…;\,\,x_{n}>0$

Khi đó ta có $\displaystyle \dfrac{{a_{1}^{2}}}{{x_{1}}}+\dfrac{{a_{2}^{2}}}{{x_{2}}}+…+\dfrac{{a_{n}^{2}}}{{x_{n}}}\ge \dfrac{{{\left( {a_{1}+a_{2}+…+a_{n}} \right)}^{2}}}{{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}}$

– Dấu đẳng thức xảy ra: $\displaystyle \dfrac{{a_{1}}}{{x_{1}}}=\dfrac{{a_{2}}}{{x_{2}}}=…=\dfrac{{a_{n}}}{{x_{n}}}\ge 0$

Một số dạng đặc biệt của bất đẳng thức Bunhiacopxki

$\displaystyle n=2$	$\displaystyle n=3$
$\displaystyle \left( {a^{2}+b^{2}} \right)\left( {x^{2}+y^{2}} \right)\ge \left( {\text{ax}+by} \right)^{2}$	$\displaystyle \left( {a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right)\left( {x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right)\ge \left( {ay+by+cz} \right)^{2}$
$\displaystyle \sqrt{{\left( {a^{2}+b^{2}} \right)\left( {x^{2}+y^{2}} \right)}}\ge \left| {\text{ax}+by} \right|$	$\displaystyle \sqrt{{\left( {a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right)\left( {x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right)}}\ge \left| {ay+by+cz} \right|$
$\displaystyle \sqrt{{\left( {a^{2}+b^{2}} \right)\left( {x^{2}+y^{2}} \right)}}\ge \text{ax}+by$	$\displaystyle \sqrt{{\left( {a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right)\left( {x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right)}}\ge ay+by+cz$
$\displaystyle \dfrac{{a^{2}}}{x}+\dfrac{{b^{2}}}{y}\ge \dfrac{{{\left( {a+b} \right)}^{2}}}{{x+y}}$ $\displaystyle \left( {x,\,\,y>0} \right)$	$\displaystyle \dfrac{{a^{2}}}{x}+\dfrac{{b^{2}}}{y}+\dfrac{{c^{2}}}{z}\ge \dfrac{{{\left( {a+b+c} \right)}^{2}}}{{x+y+z}}$ $\displaystyle \left( {x,\,\,y>0} \right)$
Đẳng thức xảy ra khi $\displaystyle \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$	Đẳng thức xảy ra khi $\displaystyle \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$

Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki có lời giải

Dưới đây là những bài tập chứng minh bất đẳng thức có lời giải sử dụng những kỹ thuật chọn điểm rơi, kỹ thuật sử dụng BĐT Bunhiacopxki dạng cơ bản, kỹ thuật sử dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, kỹ thuật thêm bớt, kỹ thuật đổi biến.