Mục lục
Dùng định nghĩa chứng minh bất đẳng thức
Hướng dẫn học sinh cách chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa, một trong những cách chứng minh BĐT cơ bản, thường dùng.
Để sử dụng được phương pháp này các em cần nắm được Những hằng đẳng thức đáng nhớ đã học.
Phương pháp chung:
Để chứng minh $A > B$, ta xét hiệu $A – B$ sau đó chứng minh $A – B > 0$ rồi kết luận.
Ví dụ có lời giải:
Ví dụ 1: Cho $a, b, c$ là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:
$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a$
Giải:
Xét biểu thức: $M=a^{2}+b^{2}+c^{2}-(a b+b c+c a)$
Suy ra $2 \mathrm{M}=2 \mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}+2 \mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{ab}-2 \mathrm{bc}-2 \mathrm{ca}$
$\displaystyle =\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)+\left(b^{2}-2 b c+c^{2}\right)+\left(c^{2}-2 c a+a^{2}\right)$
$\displaystyle =(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$
Vì: $\quad(a-b)^{2} \geq 0$
$(b-c)^{2} \geq 0$
$(c-a)^{2} \geq 0$
Do đó $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \geq 0$
Suy ra $2 \mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}+2 \mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{ab}-2 \mathrm{bc}-2 \mathrm{ca} \geq 0$ hay $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}) \geq 0$
Vậy: $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$
Ví dụ 2: Cho $a, b, c$ là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:
$\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{4} \geq a+b+c$
Giải:
Xét biểu thức: $\displaystyle\mathrm{N}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}+\frac{3}{4}-(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})$
$\displaystyle=\left(a^{2}-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^{2}-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^{2}-c+\frac{1}{4}\right)$
$\displaystyle=\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(c-\frac{1}{2}\right)^{2}$
Vì $\displaystyle\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 ; \quad\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 ; \quad\left(c-\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 .$
Do đó $\displaystyle\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(c-\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0$
Suy ra $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{4}-(a+b+c) \geq 0$
$\displaystyle\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{4} \geq a+b+c$
Dấu ” ” xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=\frac{1}{2}$