Bài tập so sánh tổng lũy thừa nâng cao có lời giải

PHƯƠNG PHÁP

So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại.

BÀI TẬP

Bài 1: Chứng minh rằng: $ \displaystyle A=\dfrac{1}{{2^{2}}}+\dfrac{1}{{3^{2}}}+\dfrac{1}{{4^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{100}^{2}}}<1$

Hướng dẫn giải:

Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau:

$ \displaystyle A=\dfrac{1}{{2.2}}+\dfrac{1}{{3.3}}+\dfrac{1}{{4.4}}+…+\dfrac{1}{{99.99}}+\dfrac{1}{{100.100}}$

Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn.

$ \displaystyle A<\dfrac{1}{{1.2}}+\dfrac{1}{{2.3}}+\dfrac{1}{{3.4}}+…+\dfrac{1}{{98.99}}+\dfrac{1}{{99.100}}$$ \displaystyle =\left( {\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}} \right)+\left( {\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}} \right)+\left( {\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}} \right)+…+\left( {\dfrac{1}{{98}}-\dfrac{1}{{99}}} \right)+\left( {\dfrac{1}{{99}}-\dfrac{1}{{100}}} \right)$

$ \displaystyle A<\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{{100}}<1$

Bài 2: Chứng minh rằng: $ \displaystyle \dfrac{1}{6}<\dfrac{1}{{5^{2}}}+\dfrac{1}{{6^{2}}}+\dfrac{1}{{7^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{100}^{2}}}<\dfrac{1}{4}$

Hướng dẫn giải:

Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh:

$ \displaystyle A=\dfrac{1}{{5^{2}}}+\dfrac{1}{{6^{2}}}+\dfrac{1}{{7^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{99}^{2}}}+\dfrac{1}{{{100}^{2}}}$ và Chứng minh $ \displaystyle A>\dfrac{1}{6}$

Ta có: $ \displaystyle A=\dfrac{1}{{5.5}}+\dfrac{1}{{6.6}}+\dfrac{1}{{7.7}}+…+\dfrac{1}{{99.99}}+\dfrac{1}{{100.100}}>\dfrac{1}{{5.6}}+\dfrac{1}{{6.7}}+\dfrac{1}{{7.8}}+…+\dfrac{1}{{99.100}}+\dfrac{1}{{100.101}}$

$ \displaystyle A>\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{{101}}=\dfrac{{96}}{{505}}$ đến đây, ta sẽ so sánh $ \displaystyle \dfrac{{96}}{{505}}$ với $ \displaystyle \dfrac{1}{6}$ như sau:

Ta có: $ \displaystyle \dfrac{{96}}{{505}}>\dfrac{{96}}{{576}}=\dfrac{1}{6}$ bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số $ \displaystyle \dfrac{1}{6}$ với 96 để được hai phân số cùng tử rồi so sánh khi đó ta có: $ \displaystyle A>\dfrac{{96}}{{505}}>\dfrac{{96}}{{567}}=\dfrac{1}{6}$                         (1)

Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: $ \displaystyle A=\dfrac{1}{{5^{2}}}+\dfrac{1}{{6^{2}}}+\dfrac{1}{{7^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{99}^{2}}}+\dfrac{1}{{{100}^{2}}}<\dfrac{1}{4}$

Ta làm tương tự như sau :

$ \displaystyle A=\dfrac{1}{{5.5}}+\dfrac{1}{{6.6}}+\dfrac{1}{{7.7}}+…+\dfrac{1}{{99.99}}+\dfrac{1}{{100.100}}<\dfrac{1}{{4.5}}+\dfrac{1}{{5.6}}+\dfrac{1}{{6.7}}+…+\dfrac{1}{{98.99}}+\dfrac{1}{{99.100}}$

=>$ \displaystyle A<\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{{100}}<\dfrac{1}{4}$(2)

Từ (1) và (2) ta có : $ \displaystyle \dfrac{1}{6}<A<\dfrac{1}{4}$

Bài 3: Chứng minh rằng: $ \displaystyle \dfrac{1}{{2^{2}}}+\dfrac{1}{{3^{2}}}+\dfrac{1}{{4^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{100}^{2}}}<\dfrac{3}{4}$

Hướng dẫn giải:

Ta biến đổi: $ \displaystyle A=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{{3.3}}+\dfrac{1}{{4.4}}+…+\dfrac{1}{{99.99}}+\dfrac{1}{{100.100}}<\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{{2.3}}+\dfrac{1}{{3.4}}+\dfrac{1}{{4.5}}+…+\dfrac{1}{{99.100}}$$ \displaystyle A<\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{100}}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{{100}}<\dfrac{3}{4}$

Bài 4: Chứng minh rằng: $ \displaystyle A=\dfrac{1}{{2^{2}}}+\dfrac{1}{{4^{2}}}+\dfrac{1}{{6^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{100}^{2}}}<\dfrac{1}{2}$

Hướng dẫn giải:

Nhận thấy bài này là tổng  cùng lũy thừa nhưng cơ số lại chẵn, nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa hai liên tiếp như sau :

$ \displaystyle A=\dfrac{1}{{2^{2}}}\left( {1+\dfrac{1}{{2^{2}}}+\dfrac{1}{{3^{2}}}+\dfrac{1}{{4^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{50}^{2}}}} \right)<\dfrac{1}{4}\left( {1+\dfrac{1}{{1.2}}+\dfrac{1}{{2.3}}+\dfrac{1}{{3.4}}+…+\dfrac{1}{{49.50}}} \right)$

=>$ \displaystyle A<\dfrac{1}{4}\left( {1+1-\dfrac{1}{{50}}} \right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{200}}<\dfrac{1}{2}$

Bài 5: Chứng minh rằng: $ \displaystyle A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{{2^{2}}}+\dfrac{3}{{2^{3}}}+…+\dfrac{{100}}{{2^{{100}}}}<2$

Hướng dẫn giải:

Nhận thấy bài này có dạng tổng lũy thừa cùng cơ số, nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A

Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có thể tính được,

Ta tính tổng A như sau: $ \displaystyle 2A=1+\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{{2^{2}}}+\dfrac{4}{{2^{3}}}+…+\dfrac{{99}}{{2^{{98}}}}+\dfrac{{100}}{{2^{{99}}}}$

Sau đó lấy 2A trừ A theo vế và nhóm các phân số có cùng mẫu ta được :

$ \displaystyle A=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{{2^{2}}}+\dfrac{1}{{2^{3}}}+…+\dfrac{1}{{2^{{99}}}}-\dfrac{{100}}{{2^{{100}}}}$, đặt $ \displaystyle B=\dfrac{1}{{2^{2}}}+\dfrac{1}{{2^{3}}}+\dfrac{1}{{2^{4}}}+…+\dfrac{1}{{2^{{99}}}}$ và tính tổng B theo cách như trên ta được : $ \displaystyle B=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{2^{{99}}}}$, thay vào A ta được : $ \displaystyle A=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{2^{{99}}}}-\dfrac{{100}}{{2^{{100}}}}<2$

Bài 6: Chứng minh rằng: $ \displaystyle A=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{{3^{2}}}+\dfrac{3}{{3^{3}}}+…+\dfrac{{100}}{{3^{{100}}}}<\dfrac{3}{4}$

Hướng dẫn giải:

Tính tượng tự như bài 5, ta có: $ \displaystyle 2A=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{{3^{2}}}+\dfrac{1}{{3^{3}}}+…+\dfrac{1}{{9^{{99}}}}-\dfrac{{100}}{{3^{{100}}}}$,

Đặt $ \displaystyle B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{{3^{2}}}+\dfrac{1}{{3^{3}}}+…+\dfrac{1}{{3^{{99}}}}$, và tính B rồi thay vào tổng A ta được

$ \displaystyle B=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{{2.3}^{{99}}}}=>2A=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{{2.3}^{{99}}}}-\dfrac{{100}}{{3^{{100}}}}=>2A<1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}=>A<\dfrac{3}{4}$

Bài 7: Chứng minh rằng: $ \displaystyle A=\dfrac{1}{{2^{2}}}+\dfrac{1}{{3^{2}}}+\dfrac{1}{{4^{2}}}+…+\dfrac{1}{{n^{2}}}<1$

Hướng dẫn giải:

Ta có : $ \displaystyle A=\dfrac{1}{{2.2}}+\dfrac{1}{{3.3}}+\dfrac{1}{{4.4}}+….+\dfrac{1}{{n.n}}<\dfrac{1}{{1.2}}+\dfrac{1}{{2.3}}+\dfrac{1}{{3.4}}+…+\dfrac{1}{{\left( {n-1} \right)n}}=1-\dfrac{1}{n}<1$

Bài 8: Chứng minh rằng: $ \displaystyle A=\dfrac{1}{{4^{2}}}+\dfrac{1}{{6^{2}}}+\dfrac{1}{{8^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{(2n)}^{2}}}<\dfrac{1}{4}$

Hướng dẫn giải:

Ta có : $ \displaystyle A=\dfrac{1}{{2^{2}}}\left( {\dfrac{1}{{2^{2}}}+\dfrac{1}{{3^{2}}}+\dfrac{1}{{4^{2}}}+…+\dfrac{1}{{n^{2}}}} \right)<\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{1.2}}+\dfrac{1}{{2.3}}+…+\dfrac{1}{{\left( {n-1} \right)n}}} \right)=\dfrac{1}{4}\left( {1-\dfrac{1}{n}} \right)$$ \displaystyle =\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{{4n}}<\dfrac{1}{4}$

Bài 9: So sánh $ \displaystyle A=\dfrac{1}{{2^{2}}}+\dfrac{1}{{4^{2}}}+\dfrac{1}{{6^{2}}}+…+\dfrac{1}{{{(2n)}^{2}}}$ với $ \displaystyle \dfrac{1}{2}$

Hướng dẫn giải:

$ \displaystyle A=\dfrac{1}{{2^{2}}}\left( {1+\dfrac{1}{{2^{2}}}+\dfrac{1}{{2^{3}}}+…+\dfrac{1}{{n^{2}}}} \right)<\dfrac{1}{4}\left( {1+1-\dfrac{1}{n}} \right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{4n}}<\dfrac{1}{2}$

Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n>2 thì $ \displaystyle A=\dfrac{1}{{1^{2}}}+\dfrac{1}{{2^{2}}}+\dfrac{1}{{3^{2}}}+\dfrac{1}{{4^{2}}}+…+\dfrac{1}{{n^{2}}}$ không là số tự nhiên

Hướng dẫn giải:

Ta có: $ \displaystyle A<1+\dfrac{1}{{1.2}}+\dfrac{1}{{2.3}}+…+\dfrac{1}{{\left( {n-1} \right)n}}<2$ mặt khác ta thấy A>1 vậy ta có : 1<A<2