KIẾN THỨC CẦN NHỚ
A. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
1. $(A+B)^{2}=A^{2}+2 \cdot A \cdot B+B^{2}$
2. $(A-B)^{2}=A^{2}-2 . A \cdot B+B^{2}$
3. $(A)^{2}-(B)^{2}=(A+B)(A-B)$
4. $(A+B)^{3}=A^{3}+3 A^{2} B+3 A B^{2}+B^{3}$
5. $(A-B)^{3}=A^{3}-3 A^{2} B+3 A B^{2}-B^{3}$
6. $A^{3}+B^{3}=(A+B)\left(A^{2}-A B+B^{2}\right)$
7. $A^{3}-B^{3}=(A-B)\left(A^{2}+A B+B^{2}\right)$
8. $(A+B+C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2 A B+2 A C+2 B C$
9. $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} \cdot b+\ldots+a \cdot b^{n-2}+b^{n-1}\right)$
B. Cần nhớ các phép tính về lũy thừa
1. $a^{n}=a . a \ldots a(n$ thừa số $a)$
2. $a^{0}=1(a \neq 0)$
3. $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
4. $a^{m}: a^{n} a^{m-n}$
5. $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$
BÀI TẬP VÍ DỤ
Bài 1. Khai triển các hằng đẳng thức sau:
a) $(x+3)^{3}$
b) $(x-4)^{3}$
Bài giải:
a) $(x+3)^{3}=x^{3}+3 \cdot x^{2} \cdot 3+3 \cdot x \cdot 3^{2}+3^{3}=x^{3}+9 x^{2}+27 x+27$
b) $(x-4)^{3}=x^{3}-3 \cdot x^{2} \cdot 4+3 \cdot x \cdot 4^{2}-4^{3}=x^{3}-12 x^{2}+48 x-64$
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A=(2 x+3)^{3}-8 x^{2}(x+1)+1$
b) $B=(2 x+1)^{3}-4(x-2)^{3}$
Bài giải:
a) $A=(2 x+3)^{3}-8 x^{2}(x+1)+1$
$=8 x^{3}+36 x^{2}+54 x+27-8 x^{3}-8 x^{2}+1$
$=28 x^{2}+54 x+28$.
b) $B=(2 x+1)^{3}-4(x-2)^{3}$
$=8 x^{3}+12 x^{2}+6 x+1-4\left(x^{3}-6 x^{2}+12 x-8\right)$
$=4 x^{3}+36 x^{2}-42 x+33$
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $(4 x-7)\left(16 x^{2}+28 x+49\right)$
b) $(3 x+1)\left(9 x^{2}-3 x+1\right)-9 x\left(3 x^{2}-1\right)$
c) $(3 x+2 y)\left(9 x^{2}-6 x y+4 y^{2}\right)-(3 x-4 y)\left(9 x^{2}+12 x y+16 y^{2}\right)$
Bài giải:
a) $(4 x-7)\left(16 x^{2}+28 x+49\right)=64 x^{3}-343$
b) $(3 x+1)\left(9 x^{2}-3 x+1\right)-9 x\left(3 x^{2}-1\right)=27 x^{3}+1-27 x^{3}+9 x=9 x+1$
c) $(3 x+2 y)\left(9 x^{2}-6 x y+4 y^{2}\right)-(3 x-4 y)\left(9 x^{2}+12 x y+16 y^{2}\right)$
$=27 x^{3}+8 y^{3}-27 x^{3}+64 y^{3}=72 y^{3} .$
Bài 2: Tìm $x$, biết:
a) $(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)-x(x-4)(x+4)=21$.
b) $\left(4 x^{2}+2 x+1\right)(2 x-1)-4 x\left(2 x^{2}-3\right)=23$.
Bài giải:
a) $(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)-x(x-4)(x+4)=21$
$\Leftrightarrow x^{3}-27-x\left(x^{2}-16\right)=21$
$\Leftrightarrow 16 x-27=21$
$\Leftrightarrow 16 x=48$
$\Leftrightarrow x=3$
Vậy giá trị cần tìm là: $x=3$.
b) $\left(4 x^{2}+2 x+1\right)(2 x-1)-4 x\left(2 x^{2}-3\right)=23$
$\Leftrightarrow 8 x^{3}-1-8 x^{3}+12 x=23$
$\Leftrightarrow 12 x=24$
$\Leftrightarrow x=2$
Vậy giá trị cần tìm là: $x=2$.
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho $(x+2 y)\left(x^{2}-2 x y+4 y^{2}\right)=0$ và $(x-2 y)\left(x^{2}+2 x y+4 y^{2}\right)=16$.
Tìm $x$ và $y$
Bài giải:
Ta có:
$(x+2 y)\left(x^{2}-2 x y+4 y^{2}\right)=0 \Leftrightarrow x^{3}+8 y^{3}=0$
$(x-2 y)\left(x^{2}+2 x y+4 y^{2}\right)=16 \Leftrightarrow x^{3}-8 y^{3}=16 \quad$ (2)
Cộng hai vế tương ứng (1) và (2) ta được: $2 x^{3}=16 \Leftrightarrow x^{3}=8 \Leftrightarrow x=2$.
Thay $x=2$ vào $(1)$ ta được $8+8 y^{3}=0 \Leftrightarrow y=-1$.
Vậy giá trị cần tìm là: $x=2$ và $y=-1$.
Bài 2: Cho $x-y=2$, tính giá trị của biểu thức $A=2\left(x^{3}-y^{3}\right)-3(x+y)^{2}$
Bài giải:
$A=2(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)-3\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)$
$A=4\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)-3 x^{2}-6 x y-3 y^{2}$
$A=x^{2}-2 x y+y^{2}=(x-y)^{2}=2^{2}=4$
Vậy giá trị của $A$ bằng 4 .