Hướng dẫn học sinh cách so sánh các căn thức bậc 2 qua các ví dụ có lời giải mà Học Toán 123 chia sẻ dưới đây.
Cách 1: Tính trực tiếp rồi so sánh
So sánh $\sqrt{16+9}$ và $\sqrt{16}+\sqrt{9}$. .
Ta có: $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ và $\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7>5 \Rightarrow \sqrt{16}+\sqrt{9}>\sqrt{16+9}$
Cách 2: Đưa thừa số vào trong, ra ngoài căn rồi so sánh
So sánh $2 \sqrt{27}$ và $\sqrt{147}$. Ta có: $2 \sqrt{27}=\sqrt{108}<\sqrt{147}$
Cách 3: Lũy thừa hai vế rồi so sánh
So sánh $\sqrt{2005}+\sqrt{2007}$ và $2 \sqrt{2006}$ :
$(\sqrt{2005}+\sqrt{2007})^{2}=2005+2 \sqrt{2005.2007}+2007=4012+2 \sqrt{2005.2007}$
$(2 \sqrt{2006})^{2}=4.2006=4012+2.2006$
Vì $2005.2007=(2006-1)(2006+1)=2006^{2}-1<2006^{2}$
nên $\sqrt{2005.2007}<2006$ suy ra $(\sqrt{2005}+\sqrt{2007})^{2}<(2 \sqrt{2006})^{2} \Rightarrow \sqrt{2005}+\sqrt{2007}<2 \sqrt{2006}$
Cách 4: Nhân liên hợp
So sánh $\sqrt{2005}+\sqrt{2007}$ và $2 \sqrt{2006}$
Xét $\sqrt{2007}-\sqrt{2006}=\dfrac{(\sqrt{2007}-\sqrt{2006})(\sqrt{2007}+\sqrt{2006})}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}=\dfrac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}$
Và $\sqrt{2006}-\sqrt{2005}=\dfrac{(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}=\dfrac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}$
Vì $ \dfrac{1}{{\sqrt{{2006}}+\sqrt{{2005}}}}>\dfrac{1}{{\sqrt{{2007}}+\sqrt{{2006}}}}\Rightarrow \sqrt{{2007}}-\sqrt{{2006}}<\sqrt{{2006}}-\sqrt{{2005}}~\text{ }$
Hay $\sqrt{2005}+\sqrt{2007}<2 \sqrt{2006}$
Cách 5: Dùng bất đẳng thức
So sánh $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ và 4.
Theo bất đẳng thức Cauchy:
$$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\leq 2(2+3)=10<16=4^2.$$
Vì $\sqrt{2}+\sqrt{3}>0$, suy ra $\sqrt{2}+\sqrt{3}<4$.
Cách 6: Dùng thừa số trung gian
So sánh $\sqrt{65}+2$ và 10: Có $\sqrt{65}+2>\sqrt{64}+2=10$