1) Định nghĩa bất đẳng thức
Cho a và b là hai số thực. Khi đó:
- a nhỏ hơn b, kí hiệu a < b nếu a – b < 0
- a lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu a – b > 0
- a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu a ≤ b nếu a – b ≤ 0
- a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu a ≥ b nếu a – b ≥ 0
Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay dạng a < b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức và a gọi là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.
2) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Tính chất 1: Tính chất phản xứng
a > b ⇔ b < a
* Tính chất 2: Tính chất bắc cầu.
a > b , b > c ⇒ a > c
Tính chất 3: Tính chất cộng với cùng một số.
a > b ⇔ a + c > b + c
Hệ quả: a + c > b ⇔ a > b – c
Tính chất 4: Tính chất cộng hai BĐT cùng chiều.
a > c, b > d ⇒ a + b > c + d
Tính chất 5: Tính chất nhân với cùng một số khác 0
a > b, c > 0 ⇒ ac > bc
a > b, c < 0 ⇒ ac < bc
Tính chất 6: Tính chất nhân hai BĐT cùng chiều.
a > b ≥ 0 , c > d ≥ 0 ⇒ ac > bd
Tính chất 7: Các tính chất về luỹ thừa
a > b ⇒ an > bn
a > b ⇔ an > bn với n lẻ.
|a| > |b| ⇔ an > bn với n chẵn.