Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương pháp: Cần ôn tập để vận dụng tổng hợp các phép tính và các phép biến đổi đã học.

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: $\displaystyle\sqrt{6 x}+\sqrt{\frac{6}{x}}-\sqrt{\frac{2 x}{3}}$  với $x>0$.

Bài giải:

Với $x>0$, ta có:

$\displaystyle\sqrt{6 x}+\sqrt{\frac{6}{x}}-\sqrt{\frac{2 x}{3}}=\sqrt{6 x}+\sqrt{\frac{6 x}{x^{2}}}-\sqrt{\frac{6 x}{3^{2}}}$

$\displaystyle =\sqrt{6 x}+\frac{1}{x} \sqrt{6 x}-\frac{1}{3} \sqrt{6 x}$

$\displaystyle =\frac{2}{3} \sqrt{6 x}+\frac{1}{x} \sqrt{6 x}$

$\displaystyle =\sqrt{6 x}\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{x}\right)$

Ví dụ 2: Giải phương trình: $2 \sqrt{3 x}-4 \sqrt{3 x}=27-3 \sqrt{3 x}$

Bài giải:

$2 \sqrt{3 x}-4 \sqrt{3 x}=27-3 \sqrt{3 x}$.

Điều kiện: $3 x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$.

Khi đó (1): $\displaystyle\Leftrightarrow 2 \sqrt{3 x}-4 \sqrt{3 x}+3 \sqrt{3 x}=27$

$\displaystyle\Leftrightarrow \sqrt{3 x}(2-4+3)=27 \Leftrightarrow \sqrt{3 x}=27$

$\displaystyle\Leftrightarrow(\sqrt{3 x})^{2}=27^{2} \Leftrightarrow 3 x$

$\displaystyle =729 \Leftrightarrow x=243$ (nhận)

Vậy: $S =\{243\}$.

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Thực hiện phép tính: $\displaystyle A=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+2}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$

Bài giải:

$\displaystyle A=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+2}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+2}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}+\frac{(\sqrt{2}+1)(1+\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2}) \sqrt{2}}$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}-1-\sqrt{2}+3+2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}$

$\displaystyle =\frac{2+2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}$

$\displaystyle =\sqrt{2}$.

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: $\displaystyle B=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$

Bài giải:

Điều kiện xác định: $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x \neq 4\end{array}\right.$

Với điều kiện trên thì:

$\displaystyle B=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{x}-2-2(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2) \cdot(\sqrt{x}-2)}+\frac{\sqrt{x}}{x-4}$

$\displaystyle =\frac{-\sqrt{x}-6+\sqrt{x}}{x-4}$

$\displaystyle =\frac{-6}{x-4}$

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:  $\displaystyle C=\frac{3 \sqrt{x}+1}{x+2 \sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$.

Bài giải:

Điều kiện: $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x+2 \sqrt{x}-3 \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3) \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x \neq 1\end{array}\right.\right.\right.$

Với điều kiện trên thì:

$\displaystyle C=\frac{3 \sqrt{x}+1}{x+2 \sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$

$\displaystyle =\frac{3 \sqrt{x}+1}{x+3 \sqrt{x}-\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$

$\displaystyle =\frac{3 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)-(\sqrt{x}+3)}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$

$\displaystyle =\frac{3 \sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$

$\displaystyle =\frac{3 \sqrt{x}+1-2(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)}$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)}$

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x}-1}$.

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: $\displaystyle D=\frac{\sqrt{x}+1}{x+4 \sqrt{x}+4}:\left(\frac{x}{x+2 \sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}+2}\right)$

Bài giải:

Điều kiện: $x \geq 0$

Với điều kiện đó thì:

$\displaystyle D=\frac{\sqrt{x}+1}{x+4 \sqrt{x}+4}:\left(\frac{x}{x+2 \sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}+2}\right)$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+2)^{2}}:\left(\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}+\frac{x}{\sqrt{x}+2}\right)$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+2)^{2}}:\left(\frac{\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}+2}\right)$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+2)^{2}} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}(\sqrt{\mathrm{x}}+2)}$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *