Mục lục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Tổng quát: $\displaystyle\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A B}{B^{2}}}=\frac{\sqrt{A B}}{|B|} \quad(A B \geq 0, B \neq 0)$
2. Trục căn thức ở mẫu
– Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số:
Ta phân tích tử thành dạng tích có thừa số là căn thức ở mẫu để giản nước.
Tổng quát: $\displaystyle\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A \sqrt{B}}{B} \quad(B>0)$
– Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tổng có chứa căn:
Ta phân tích tử thành dạng tích có thừa số là biểu thức chứa căn ở mẫu để giản ước.
Hoặc ta nhân tử và mẫu với lượng liên hợp của biểu thức ở mẫ để có thể làm mất căn thức ở mẫu.
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}}{A+B} \quad(a \geq 0 ; B \geq ; A \neq B)$
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1. Khử mẫu ở các biểu thức sau:
$ (a)\sqrt{{\dfrac{4}{5}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\,\,\,\,\,\,b)\sqrt{{\dfrac{3}{{2a}}}}$ với $\displaystyle A>0$.
Bài giải:
$\displaystyle A) \sqrt{\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{4\cdot 5}{5\cdot 5}}=\frac{\sqrt{4\cdot 5}}{\sqrt{5^{2}}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$;
b) Với $\displaystyle A>0$, ta có: $\displaystyle\sqrt{\frac{3}{2 a}}=\sqrt{\frac{3\cdot 2 a}{2 a \cdot 2 a}}=\frac{\sqrt{6 a}}{\sqrt{(2 a)^{2}}}=\frac{\sqrt{6 a}}{2 a}$.
Ví dụ 2. Trục căn thức ở mẫu trong các biểu thức:
a) $\displaystyle\frac{3}{2 \sqrt{5}} ; \frac{2}{\sqrt{b}}$với $\displaystyle B>0$.
b) $\displaystyle\frac{5}{5-2 \sqrt{3}} ; \frac{2 a}{1-\sqrt{a}}$với $\displaystyle A \geqslant 0$và $\displaystyle A \neq 1 \cdot $
Bài giải:
a) $\displaystyle\frac{3}{2 \sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{5}}{2\cdot 5}=\frac{3 \sqrt{5}}{10}$
Với $\displaystyle B>0$, ta có: $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{b}}=\frac{2 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}=\frac{2 \sqrt{b}}{\sqrt{b^{2}}}=\frac{2 \sqrt{b}}{b}$.
b) $\displaystyle\frac{5}{5-2 \sqrt{3}}=\frac{5 \cdot(5+2 \sqrt{3})}{(5-2 \sqrt{3})(5+2 \sqrt{3})}=\frac{5(5+2 \sqrt{3})}{5^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}$
$\displaystyle =\frac{5(5+2 \sqrt{3})}{25-12}=\frac{5(.5-2 \sqrt{3})}{13}$
Với $\displaystyle A \geq 0$ và $\displaystyle A \neq 1$, ta có:
$\displaystyle\frac{2 a}{1-\sqrt{a}}=\frac{2 a(1+\sqrt{a})}{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}=\frac{2 a((1+\sqrt{a})}{1-(\sqrt{a})^{2}}=\frac{2 a(1+\sqrt{a})}{1-a}$.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Trục căn thức ở mẫu:
a) $\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-1}$
b) $\displaystyle\frac{5}{\sqrt{3}+2}$
Bài giải:
a) $\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-1}=\frac{3(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$
$\displaystyle =\frac{3 \sqrt{2}+3}{2-1}=3 \sqrt{2}+3$
b) $\displaystyle\frac{5}{\sqrt{3}+2}=\frac{5(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$
$\displaystyle =\frac{5 \sqrt{3}-10}{3-4}=10-5 \sqrt{3}$
Bài 2: So sánh: $\displaystyle\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$ và $\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Bài giải:
$\displaystyle\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6+2 \sqrt{5}}}{2}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{5+2 \sqrt{5}+1}}{2}=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}+1)^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
Suy ra $\displaystyle\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Thực hiện phép tính sau:
a) $\displaystyle A=\frac{1}{4 \sqrt{2}+1}+\frac{1}{4 \sqrt{2}-1}$
b) $\displaystyle B=\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}+\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$
Bài giải:
a) $\displaystyle A=\frac{1}{4 \sqrt{2}+1}+\frac{1}{4 \sqrt{2}-1}=\frac{4 \sqrt{2}-1+4 \sqrt{2}+1}{(4 \sqrt{2}+1)(4 \sqrt{2}-1)}$
$\displaystyle =\frac{8 \sqrt{2}}{32-1}=\frac{8 \sqrt{2}}{31}$.
b) $\displaystyle B=\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}+\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}+\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$
$\displaystyle =\frac{(\sqrt{2}+1)^{2}+(\sqrt{2}-1)^{2}}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{3+2 \sqrt{2}+3-2 \sqrt{2}}{2-1}=6$.
Bài 2: Chứng minh rằng: $\displaystyle\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1} \geq-1$ với $x \geq 1 \cdot $
Bài giải:
Ta có $\displaystyle\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{(x-2)(\sqrt{x-1}-1)}{(\sqrt{x-1}+1)(\sqrt{x-1}-1)}=\frac{(x-2)(\sqrt{x-1}-1)}{x-1-1}=\sqrt{x-1}-1$
Với $x \geq 1$ thì $\displaystyle\sqrt{x-1} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x-1}-1 \geq-1 \Rightarrow \frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1} \geq-1$