Lưu ý về chương trình: Nội dung dưới đây thuộc chương trình/SGK Toán 9 trước GDPT 2018. Từ năm học 2026–2027, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống được sử dụng thống nhất toàn quốc. Xem Lý thuyết Toán lớp 9 theo chương trình hiện hành.
Nội dung trọng tâm là điều kiện xác định của căn thức và hằng đẳng thức \(\sqrt{A^2}=|A|\). Bản cũ có công thức so sánh sai; phần dưới đã được chuẩn hóa.
1. Điều kiện xác định
Với biểu thức A, \(\sqrt A\) có nghĩa khi và chỉ khi \(A\ge0\). Nếu căn thức nằm ở mẫu thì ngoài điều kiện dưới căn không âm còn phải bảo đảm mẫu khác 0.
2. Hằng đẳng thức
Với mọi A thực: \(\sqrt{A^2}=|A|=\begin{cases}A,&A\ge0\\-A,&A<0\end{cases}\).
3. Một hệ quả khi A≥0
\(x^2\le A\iff |x|\le\sqrt A\iff-\sqrt A\le x\le\sqrt A\). Tương tự, \(x^2\ge A\iff x\le-\sqrt A\) hoặc \(x\ge\sqrt A\).
Ví dụ minh họa
Với \(a<0\): \(\sqrt{3a^2}=\sqrt3\,|a|=-a\sqrt3\). Với \(\sqrt{\dfrac1{a-1}}\), điều kiện là \(a>1\).
Bài tập tự luyện
- Tìm điều kiện của \(\sqrt{5-2x}\).
- Rút gọn \(\sqrt{(x-3)^2}\).
- Giải \(x^2\le16\).