Mục lục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Căn thức bậc hai
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{\mathbf{A}}$ là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
Điều kiện để $\sqrt{\mathbf{A}}$ có nghĩa: ($\sqrt{\mathbf{A}}$ xác định) là: $A \geq 0$.
Hằng đẳng thức
$\displaystyle \sqrt{{A^{2}}}=|A|=\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {A,A\ge 0} \\ {-A,A<0} \end{array}} \right.$
Cho $A \geq 0$, ta có:
$x^{2} \leq A \Leftrightarrow|x| \leq \sqrt{A^{2}} \Leftrightarrow-\sqrt{A} \leq x \leq \sqrt{A}$.
$\displaystyle X^{2}\ge A\Leftrightarrow |X|\ge \sqrt{A}\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {X\ge \sqrt{A}} \\ {X\le -\sqrt{A}} \end{array}} \right.$
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Với giá trị nào của a thì các căn thức sau đây có nghĩa?
a) $\sqrt{\frac{a}{2}}$; b) $\sqrt{-3 a}$; c) $\sqrt{a^{2}+1}$
d) $\sqrt{\frac{1}{a-1}}$
Bài giải:
a) $\sqrt{\frac{a}{2}}$có nghĩa khi $\Leftrightarrow \frac{a}{2} \geq 0 \Leftrightarrow a \geq 0$.
b) $\sqrt{-3 a}$có nghĩa khi $\Leftrightarrow-3 a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 0$.
c) Ta có $a^{2} \geq 0 \Rightarrow a^{2}+1>0, \forall a \in \mathbb{R}$. Do đó $\sqrt{a^{2}+1}$xác định với mọi giá trị của a.
d) $\sqrt{\frac{1}{a-1}}$có nghĩa khi $\Leftrightarrow \frac{1}{a-1} \geq 0 \Leftrightarrow a-1>0 \Leftrightarrow a>1 \cdot $
Ví dụ 2: Tính
a) $2 \sqrt{a^{2}}$ với $a \geq 0 ;$
b) $\sqrt{3 a^{2}}$ với $a<0$;
c) $5 \sqrt{a^{4}}$ với $a<0$;
d) $\frac{1}{3} \sqrt{c^{6}}$ với $c<0$.
Bài giải:
a) Với $a \geq 0$, ta có: $2 \sqrt{a^{2}}=2|a|=2 a$;
b) Với $a<0$, ta có $3 a^{2}=(\sqrt{3} \cdot a)^{2}$
Khi đó, ta có: $\sqrt{3 a^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3 \cdot a})^{2}}=|\sqrt{3} \cdot a|=|\sqrt{3}| \cdot|a|=\sqrt{3} \cdot(-a)=-\sqrt{3} \cdot a$.
c) Với $a<0$, ta có: $5 \sqrt{a^{4}}=5 \sqrt{\left(a^{2}\right)^{2}}=5\left|a^{2}\right|=5 a^{2}$(vì $a^{2} \geq 0, \forall a \in \mathbb{R}$)
d) Với $c<0$, ta có: $\frac{1}{3} \sqrt{\left(c^{3}\right)^{2}}=\frac{1}{3}\left(-c^{3}\right)=-\frac{1}{3} c^{3} \cdot $