Căn bậc ba

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa căn bậc ba

Căn bậc ba của một số a là số x sao cho $x^{3}=a$

$\displaystyle\sqrt[3]{a}=x \Leftrightarrow x^{3}=a$

* Mỗi số thực a đều có duy nhất một cân bậc ba.

* Nhận xét:

– Căn bậc ba của số dương là số dương.

– Căn bậc ba của số âm là số âm.

– Căn bậc ba của số 0 là chính số 0.

$(\sqrt[3]{a})^{3}=\sqrt[3]{a^{3}}=a$

2. Tính chất của căn bậc ba

a) Liên hệ giữ thứ tự và căn bậc ba

Nếu $a<b$ thì $\displaystyle\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b} \cdot $

b) Liên hệ giữa phép nhân và phép khai căn bậc ba

Với $a, b$ bất kỳ thì $\displaystyle\sqrt[3]{a b}=\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$.

c) Liên hệ giữa phép chia và phép khai căn bậc ba

Với $a, b$ bất kỳ $b \neq 0$ thì $\displaystyle\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$.

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính:

a) $\displaystyle\sqrt[3]{216}$

b) $\displaystyle\sqrt[3]{\frac{8}{125}}$

c) $\displaystyle\sqrt[3]{0,027}$

d) $\displaystyle\sqrt[3]{\frac{-27}{512}}$

Bài giải:

a) $\displaystyle\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{6^{3}}=6$

b) $\displaystyle\sqrt[3]{\frac{8}{125}}=\sqrt[3]{\frac{2^{3}}{5^{3}}}=\frac{2}{5}$

c) $\displaystyle\sqrt[3]{0,027}=\sqrt[3]{0,3^{3}}=0,3$

d) $\displaystyle\sqrt[3]{\frac{-27}{512}}=\sqrt[3]{\frac{(-3)^{3}}{8^{3}}}=\frac{-3}{8}$

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính:

a) $\displaystyle\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{-27}+\sqrt[3]{64}$

b) $\displaystyle\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{125}$

Bài giải:

a) $\displaystyle\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{-27}+\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{2^{3}}+\sqrt[3]{(-3)^{3}}+\sqrt[3]{4^{3}}=2-3+4=3$

b) $\displaystyle\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{3^{3}}+\sqrt[3]{(-4)^{3}}+\sqrt[3]{5^{3}}=3-4+5=4$

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: So sánh:

a) $3$ và $\displaystyle\sqrt[3]{25}$.

b) $-7$ và $\displaystyle\sqrt[3]{-342} \cdot $

Bài giải:

a) Ta có $3=\sqrt[3]{27}$

Mà $\displaystyle\sqrt[3]{27}>\sqrt[3]{25} \Rightarrow 3>\sqrt[3]{25}$

b) $-7=\sqrt[3]{(-7)^{3}}=\sqrt[3]{-343}$

Mà $\displaystyle\sqrt[3]{-343}<\sqrt[3]{-342} \Rightarrow-7<\sqrt[3]{-342}$.

Bài 2: Thực hiện phép tính:

a) $\displaystyle\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}+\sqrt[3]{\frac{1}{64}}+\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$

b) $\displaystyle\sqrt[3]{125}+\sqrt[3]{-343}-2 \sqrt[3]{64}+\frac{1}{3} \sqrt[3]{216}$

Bài giải:

a) $\displaystyle\sqrt[2]{\frac{-8}{27}}+\sqrt[3]{\frac{1}{64}}+\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\sqrt[3]{\left(\frac{-2}{3}\right)^{3}}+\sqrt[3]{\left(\frac{1}{4}\right)^{3}}+\sqrt[3]{\left(\frac{5}{2}\right)^{3}}$

$\displaystyle =\frac{-2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{5}{2}=\frac{25}{12}$.

b) $\displaystyle\sqrt[3]{125}+\sqrt[3]{-343}-2 \sqrt[3]{64}+\frac{1}{3} \sqrt[3]{216}$

$\displaystyle =\sqrt[3]{5^{3}}+\sqrt[3]{(-7)^{3}}-2 \sqrt[3]{4^{3}}+\frac{1}{3} \sqrt[3]{6^{3}}$

$=5-7-2\cdot 4+2=-8$

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Tìm x, biết:

a) $\displaystyle\sqrt[3]{x-5}+2=0$

b) $\displaystyle\sqrt[3]{5 x+2}-2=0$

Bài giải:

a) $\displaystyle\sqrt[3]{x-5}+2=0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x-5}=-2$

$\displaystyle\Leftrightarrow x-5=(-2)^{3} \Leftrightarrow x=5-8 \Leftrightarrow x=-3$.

Vậy giá trị x cần tìm là $x=-3 \cdot $

b) $\displaystyle\sqrt[3]{5 x+2}-2=0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{5 x+2}=2 \Leftrightarrow 5 x+2=8 \Leftrightarrow x=\frac{6}{5}$.
Vậy giá trị $x$ cần tìm là $\displaystyle\mathrm{x}=\frac{6}{5} \cdot $