Một số bài toán chứng minh chia hết lớp 6 nâng cao

Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải dạng toán chứng minh chia hết qua những bài toán nâng cao có đáp án.

Bài 1: Chứng minh rằng:

a, $ \displaystyle \overline{{ab}}+\overline{{ba}}\vdots 11$ b, $ \displaystyle \overline{{ab}}-\overline{{ba}}\vdots 9$ (a > b) c, $ \displaystyle \overline{{abcabc}}\vdots 7,11,13$

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: $ \displaystyle \overline{{ab}}+\overline{{ba}}=10a+b+10b+1=11b+11b\vdots 11$

b, Ta có: $ \displaystyle \overline{{ab}}-\overline{{ba}}=(10a+b)-(10b+a)=9a-9b\vdots 9$

c, Ta có: $ \displaystyle \overline{{abcabc}}=\overline{{abc}}.1001=\overline{{abc}}.7.11.13\vdots 7,11,13$.

Bài 2: Chứng minh rằng:

a, $ \displaystyle (n+10)(n+15)\vdots 2$ b, $ \displaystyle n(n+1)(n+2)\vdots 2,3$ c, $ \displaystyle n^{2}+n+1$ không $ \displaystyle \vdots $4,2,5

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: Nếu n là số lẻ thì $ \displaystyle n+15\vdots 2$

Nếu n là số chẵn thì $ \displaystyle n+10\vdots 2$, Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì : $ \displaystyle \left( {n+10} \right)\left( {n+15} \right)\vdots 2$

b, Ta có: Vì $ \displaystyle n\left( {n+1} \right)\left( {n+2} \right)$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3

c, Ta có: $ \displaystyle n(n+1)+1$ là 1 số lẻ nên không $ \displaystyle \vdots $ cho 4,2 và có chữ số tận cùng khác 0 và 5.

Bài 3: Chứng minh rằng:

a, $ \displaystyle (n+3)(n+6)\vdots 2$ b, $ \displaystyle n^{2}+n+6$ không $ \displaystyle \vdots $ 5 c, $ \displaystyle \overline{{aaabbb}}\vdots 37$

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: Nếu n là số chẵn thì $ \displaystyle n+6\vdots 2$

Nếu n lẻ thì $ \displaystyle n+3\vdots 2$, Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì $ \displaystyle \left( {n+3} \right)\left( {n+6} \right)\vdots 2$

b, Ta có: $ \displaystyle n^{2}+n+6=n\left( {n+1} \right)+6$, Vì $ \displaystyle n\left( {n+1} \right)$ là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có chữ số tận cùng là : 0, 2, 6, Do đó :$ \displaystyle n\left( {n+1} \right)+6$ sẽ có tận cùng là 6, 8, 2 nên không $ \displaystyle \vdots $ 5

c, Ta có: $ \displaystyle \overline{{aaabbb}}=\overline{{aaa000}}+\overline{{bbb}}=a.11100+b.111=a.300.37+b.3.37$ chia hết cho 37.

Bài 4: Chứng minh rằng:

a, $ \displaystyle \overline{{aaa}}\vdots a$,37 b,$ \displaystyle ab(a+b)\vdots 2$ c, $ \displaystyle \overline{{abc}}-\overline{{cba}}\vdots 99$

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: $ \displaystyle \overline{{aaa}}=a.111=a.3.37$ chia hết cho a và chia hết cho 37

b, Ta có: Vì a, b là hai số tự nhiên nên a,b có các TH sau:

TH1: a, b cùng tính chẵn lẻ=> (a+b) là 1 số chẵn nhưu vậy a+b chia hết cho 2

TH2: a, b khác tính chẵn lẻ thì 1 trong 2 số phải có 1 số chẵn khi đó số đó chia hết cho 2

c, Ta có: $ \displaystyle \overline{{abc}}-\overline{{cba}}=100a+10b+c-\left( {100c+10b+a} \right)=99a-99c=99\left( {a-c} \right)\vdots 99$.

Bài 5: CMR : $ \displaystyle \overline{{ab}}+8.\overline{{ba}}\vdots 9$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $ \displaystyle \overline{{ab}}+8.\overline{{ba}}=10a+b+8\left( {10b+a} \right)=18a+18b=18\left( {a+b} \right)\vdots 9$.

Bài 6: Chứng minh rằng: $ ab\left( {a+b} \right)\vdots 2,\forall a,b\ \in N$.

Bài 7: Chứng minh rằng số có dạng : $ \displaystyle \overline{{abcabc}}$ luôn chia hết cho 11

Hướng dẫn giải:

Ta có: $ \displaystyle \overline{{abcabc}}=a.10^{5}+b.10^{4}+c.10^{3}+b.10+c=a.10^{2}\left( {{10}^{3}+1} \right)+b.10\left( {{10}^{3}+1} \right)+c\left( {{10}^{3}+1} \right)$

$ \displaystyle =\left( {{10}^{3}+1} \right)\left( {a{.10}^{2}+b.10+c} \right)=1001\left( {a{.10}^{2}+b.10+c} \right)=11.91.\overline{{abc}}\vdots 11$.

Bài 8: Tìm n là số tự nhiên để: $ A=\left( {n+5} \right)\left( {n+6} \right)\vdots 6n$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $ A=12n+n\left( {n-1} \right)+30$, Để $ A\vdots 6n=>n\left( {n-1} \right)+30\vdots 6n$

Ta có: $ n\left( {n-1} \right)\vdots n=>30\vdots n=>n\in U\left( {30} \right)=\left\{ {1;2;3;5;6;10;15;30} \right\}$

Và $ n\left( {n-1} \right)\vdots 6=>n\left( {n-1} \right)\vdots 3=>n\in \left\{ {1;3;6;10;15;30} \right\}$

Thử vào ta thấy $ n\in \left\{ {1;3;10;30} \right\}$ thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

Bài 9: CMR : 2x+y$ \displaystyle \vdots $9 thì 5x+7y$ \displaystyle \vdots $9

Hướng dẫn giải:

Ta có: $ \displaystyle 2x+y\vdots 9=>7\left( {2x+y} \right)\vdots 9=>14x+7y\vdots 9=>9x+5x+7y\vdots 9=>5x+7y\vdots 9$.

Bài 10: Chứng minh rằng:

a, Nếu $ \displaystyle \overline{{ab}}+\overline{{cd}}\vdots 11$ thì $ \displaystyle \overline{{abcd}}\vdots 11$ b, Cho $ \displaystyle \overline{{abc}}-\overline{{\deg }}\vdots 7$ cmr $ \displaystyle \overline{{abc\deg }}\vdots 7$

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: $ \displaystyle \overline{{ab}}+\overline{{cd}}=a.10+b+10c+d=(a+c)10+b+d=\overline{{(a+c)(b+d)}}\vdots 11$ hay (a+c) – (b+d)$ \displaystyle \vdots $11

Khi đó $ \displaystyle \overline{{abcd}}\vdots 11$ vì có (a+c) – ( b+d) $ \displaystyle \vdots $ 11

b, Ta có:

Ta có $ \displaystyle \overline{{abc\deg }}=1000\overline{{abc}}+\overline{{\deg }}=1001\overline{{abc}}-(\overline{{abc}}-\overline{{\deg }})$ mà $ \displaystyle \overline{{abc}}-\overline{{\deg }}\vdots 7$ nên $ \displaystyle \overline{{abc\deg }}\vdots 7$.

Bài 11: Chứng minh rằng:

a, CMR:$ \displaystyle \overline{{ab}}=2.\overline{{cd}}\to \overline{{abcd}}\vdots 67$ b, Cho $ \displaystyle \overline{{abc\vdots 27}}$ cmr $ \displaystyle \overline{{bca}}\vdots 27$

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: Ta có $ \displaystyle \overline{{abcd}}=100\overline{{ab}}+\overline{{cd}}=200\overline{{cd}}+\overline{{cd}}=201\overline{{cd}}\vdots 67$

b, Ta có: Ta có $ \displaystyle \overline{{abc\vdots 27}}=>\overline{{abc0}}\vdots 27=>1000a+\overline{{bc0}}\vdots 27=>999a+a+\overline{{bc0}}\vdots 27=>27.37a+\overline{{bca}}\vdots 27$

Nên $ \displaystyle \overline{{bca}}\vdots 27$.

Bài 12: Chứng minh rằng:

a, $ \displaystyle \overline{{abc\deg }}\vdots 23,29$ nếu $ \displaystyle \overline{{abc}}=2.\overline{{\deg }}$ b, Cmr nếu $ \displaystyle (\overline{{ab}}+\overline{{cd}}+\overline{{eg}})\vdots 11$ thì $ \displaystyle \overline{{abc\deg }}\vdots 11$

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: $ \displaystyle \overline{{abc\deg }}=1000\overline{{abc}}+\overline{{\deg }}=1000.2\overline{{\deg }}+\overline{{\deg }}=2001\overline{{\deg }}=\overline{{\deg }}.23.29.3$

b, Ta có: $ \displaystyle \overline{{abc\deg }}=10000.\overline{{ab}}+100\overline{{cd}}+\overline{{eg}}=9999\overline{{ab}}+99\overline{{cd}}+(\overline{{ab}}+\overline{{cd}}+\overline{{eg}})\vdots 11$.

Bài 13: Chứng minh rằng:

a, Cho $ \displaystyle \overline{{abc}}+\overline{{\deg }}\vdots 37$ cmr $ \displaystyle \overline{{abc\deg }}\vdots 37$ b, Nếu $ \displaystyle \overline{{abcd}}\vdots 99$thì $ \displaystyle \overline{{ab}}+\overline{{cd}}\vdots 99$

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: $ \displaystyle \overline{{abc\deg }}=1000\overline{{abc}}+\overline{{\deg }}=999\overline{{abc}}+(\overline{{abc}}+\overline{{\deg }})\vdots 37$

b, Ta có: $ \displaystyle \overline{{abcd}}=100.\overline{{ab}}+\widehat{{cd}}=99.\overline{{ab}}+\left( {\overline{{ab}}+\overline{{cd}}} \right)\vdots 99=>\overline{{ab}}+\overline{{cd}}\vdots 9$.

Bài 14: Chứng minh rằng: Nếu $ \displaystyle \overline{{abcd}}\vdots 101$ thì $ \displaystyle \overline{{ab}}-\overline{{cd}}\vdots 101$

HD :

Ta có: $ \displaystyle \overline{{abcd}}\vdots 101=>100.\overline{{ab}}+\overline{{cd}}=101.\overline{{ab}}-\overline{{ab}}+\overline{{cd}}=101.\overline{{ab}}-\left( {\overline{{ab}}-\overline{{cd}}} \right)\vdots 101$=>$ \displaystyle \overline{{ab}}-\overline{{cd}}\vdots 101$.

Bài 15: Chứng minh rằng:

a, 2a – 5b+6c $ \displaystyle \vdots $ 17 nếu a-11b+3c $ \displaystyle \vdots $17 (a,b,c $ \displaystyle \in $ Z) b, 3a+2b $ \displaystyle \vdots $ 17 $ \displaystyle \leftrightarrow $10a+b $ \displaystyle \vdots $ 17 (a,b$ \displaystyle \in $ Z)

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: a-11b+3c $ \displaystyle \vdots $ 17 và 17a-34b +51c $ \displaystyle \vdots $ 17 nên 18a-45b+54c $ \displaystyle \vdots $ 17 => 9(2a-5b+6c) $ \displaystyle \vdots $ 17

b, Ta có: 3a+2b $ \displaystyle \vdots $ 17 và 17a – 34b $ \displaystyle \vdots $ 17 nên 20a – 32b $ \displaystyle \vdots $ 17 <=>10a – 16b $ \displaystyle \vdots $ 17

<=> 10a +17b – 16b $ \displaystyle \vdots $17<=> 10a+b $ \displaystyle \vdots $ 17.

Bài 16: Chứng minh rằng:

a, $ \displaystyle \overline{{abcd}}\vdots 29\leftrightarrow a+3b+9c+27d\vdots 29$ b, $ \displaystyle \overline{{abc}}\vdots 21\leftrightarrow a-2b+4c\vdots 21$

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: $ \displaystyle \overline{{abcd}}=1000a+100b+10c+d\vdots 29$=> 2000a+200b+20c+2d $ \displaystyle \vdots $ 29

=> 2001a – a +203b – 3b +29c – 9c +29d – 27d $ \displaystyle \vdots $ 29

=> (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) $ \displaystyle \vdots $29 => (a+3b+9c+27d) $ \displaystyle \vdots $29

b, Ta có: $ \displaystyle \overline{{abc}}=100a+10b+c$$ \displaystyle \vdots $21 =>100a – 84a +10b – 42b + c +63c $ \displaystyle \vdots $ 21

=> 16a – 32b +64c $ \displaystyle \vdots $21 => 16(a- 2b +4c) $ \displaystyle \vdots $21.

Bài 17: Chứng minh rằng:

a, $ \displaystyle \overline{{abcd}}\vdots 4\leftrightarrow d+2c\vdots 4$ b, $ \displaystyle \overline{{abcd}}\vdots 16\to d+2c+4b+8a\vdots 16$ (c chẵn)

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: Vì $ \displaystyle \overline{{abcd}}\vdots 4\to \overline{{cd}}\vdots 4\to 10c+d\vdots 4\to 2c+d\vdots 4$

b, Ta có: Vì $ \displaystyle \overline{{abcd}}\vdots 16=>1000a+100b+10c+d\vdots 16=>992a+8a+96b+4b+8c+2c+d$$ \displaystyle \vdots $ 16

=> (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) $ \displaystyle \vdots $16, mà c chẵn nên 8c $ \displaystyle \vdots $ 16 => (8a+4b+2c+d) $ \displaystyle \vdots $16.

Bài 18: Chứng minh rằng:

a, Cho a – b $ \displaystyle \vdots $ 7 cmr 4a+3b $ \displaystyle \vdots $7 (a,b$ \displaystyle \in $ Z) b, Cmr m +4n $ \displaystyle \vdots $ 13 $ \displaystyle \leftrightarrow $10m+n $ \displaystyle \vdots $ 13

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: a – b $ \displaystyle \vdots $7 nên 4(a –b) $ \displaystyle \vdots $7 => 4a – 4b +7b $ \displaystyle \vdots $7 => 4a +3b $ \displaystyle \vdots $ 7

b, Ta có: m+4n $ \displaystyle \vdots $ 13 => 10(m+4n) $ \displaystyle \vdots $13 => 10m +40n – 39n$ \displaystyle \vdots $13 =>10m+ n $ \displaystyle \vdots $13.

Bài 19: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 6a+11b $ \displaystyle \vdots $ 31 thì a+7b cũng $ \displaystyle \vdots $ 31, điều ngược lại có đúng không?

Hướng dẫn giải:

Ta có: $ \displaystyle 6a +11b \vdots 31$ ⇒ $ \displaystyle 6( a+7b) – 31b \vdots 31$ ⇒ $ \displaystyle a+7b \vdots $31.

Bài 20: Cho a,b là các số nguyên, CMR 5a+2b $ \displaystyle \vdots $ 17 khi và chỉ khi 9a+7b $ \displaystyle \vdots $ 17

Hướng dẫn giải:

Ta có: 5a +2b $ \displaystyle \vdots $17 => 5a – 68a +2b -51b $ \displaystyle \vdots $17 => – 63a – 49b $ \displaystyle \vdots $17 => -7( 9a +7b) $ \displaystyle \vdots $17 => 9a+7b $ \vdots $ 17.

Bài 21: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 2a+3b $ \displaystyle \vdots $ 7 thì 8a + 5b $ \displaystyle \vdots $ 7

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2a+3b $ \displaystyle \vdots $7 => 4(2a+3b) $ \displaystyle \vdots $7 =>8a +12b $ \displaystyle \vdots $7=> 8a+12b -7b $ \displaystyle \vdots $7=>8a+5b $ \displaystyle \vdots $7.

Bài 22: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu a – 2b $ \displaystyle \vdots $ 7 thì a-9b $ \displaystyle \vdots $ 7, điều ngược lại có đúng không?

Hướng dẫn giải:

Ta có: a – 2b $ \displaystyle \vdots $7 => a- 2b -7b $ \displaystyle \vdots $7=> a – 9b $ \displaystyle \vdots $7, Điều ngược lại vẫn đúng.

Bài 23: Cho a,b là các số nguyên và 5a+8b $ \displaystyle \vdots $ 3 cmr

a, – a +2b $ \displaystyle \vdots $ 3 b, 10a +b $ \displaystyle \vdots $ (-3) c, a +16b $ \displaystyle \vdots $ 3

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: 5a +8b $ \displaystyle \vdots $3=> 5a- 6a+8b-6b$ \displaystyle \vdots $3=> -a+2b $ \displaystyle \vdots $3

b, Ta có: 5a +8b $ \displaystyle \vdots $3 => 2(5a+8b) $ \displaystyle \vdots $3=>10a+16b$ \displaystyle \vdots $3=>10a+16b-15b$ \displaystyle \vdots $3

c, Ta có: 5a +8b $ \displaystyle \vdots $3=> 5(a+16b) – 72b $ \displaystyle \vdots $3 =>a+16b $ \displaystyle \vdots $3.

Bài 24: Cho biết a-b $ \displaystyle \vdots $ 6, CMR các biểu thức sau cũng chia hết cho 6

a, a +5b b, a +17b c, a – 13b

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: a-b $ \displaystyle \vdots $6 => a-b+6b$ \displaystyle \vdots $6=> a+5b$ \displaystyle \vdots $6

b, Ta có: a-b $ \displaystyle \vdots $6 => a-b +18b $ \displaystyle \vdots $6=> a+17b $ \displaystyle \vdots $6

c, Ta có: a – b $ \displaystyle \vdots $6 => a-b-12b $ \displaystyle \vdots $6=> a-13b $ \displaystyle \vdots $ 6

*Download file word Một số bài toán chứng minh chia hết lớp 6 nâng cao.docx bằng cách click vào nút Tải về dưới đây.