Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 THCS tỉnh Lạng Sơn, năm học 2022-2023. Thời gian làm bài 150 phút.
Ngày thi 28 tháng 3 năm 2023. Hình thức thi tự luận gồm 5 câu.
Đáp án Đề thi HSG Toán 9 THCS tỉnh Lạng Sơn năm 2022-2023
Câu 5b:
Vì 2023=7×289, chọn 7 đỉnh V0, V289, V578, …, V1734 của đa giác đều 2023 đỉnh. Bảy đỉnh này tạo thành một đa giác đều 7 đỉnh. Trong 7 đỉnh đó, theo nguyên lí Dirichlet, ít nhất 4 đỉnh mang cùng một dấu.
Ta chứng minh bổ đề: trong mọi 4 đỉnh của một đa giác đều 7 đỉnh luôn có 3 đỉnh tạo thành tam giác cân. Gọi bốn đỉnh đã chọn theo thứ tự quanh đường tròn là A, B, C, D. Gọi a,b,c,d là số cạnh của thất giác nằm trên các cung AB, BC, CD, DA. Khi đó a,b,c,d là các số nguyên dương và a+b+c+d=7. Nếu hai khoảng cách cung kề nhau bằng nhau, chẳng hạn a=b, thì AB=BC và tam giác ABC cân; các trường hợp khác tương tự. Nếu không có hai khoảng cách cung kề nhau nào bằng nhau, do bốn số nguyên dương có tổng 7, thứ tự của chúng (sau phép quay hoặc đảo chiều) buộc là 1,2,1,3. Khi đó cung BD đi qua C gồm 2+1=3 cạnh, còn cung DA gồm 3 cạnh, nên BD=DA; tam giác ABD cân. Bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề cho 4 đỉnh cùng dấu đã chọn trong thất giác nói trên, ta tìm được 3 đỉnh cùng dấu tạo thành một tam giác cân. Ba đỉnh này cũng là các đỉnh của đa giác đều 2023 đỉnh ban đầu. Điều phải chứng minh.