Đề thi HSG Toán 9 THCS tỉnh Lạng Sơn 2022-2023

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 THCS tỉnh Lạng Sơn, năm học 2022-2023. Thời gian làm bài 150 phút.

Ngày thi 28 tháng 3 năm 2023. Hình thức thi tự luận gồm 5 câu.

Đáp án Đề thi HSG Toán 9 THCS tỉnh Lạng Sơn năm 2022-2023

Câu 5b:
Giả sử rằng không thể chọn ra 3 đỉnh của đa giác với cùng một dấu và tạo thành một tam giác cân. Trước tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng có ít nhất 2 đỉnh liên tiếp đánh dấu là 0 và 2 đỉnh liên tiếp đánh dấu là 1.
Giả sử chúng ta không có 2 đỉnh liên tiếp đánh dấu là 0. Điều đó có nghĩa là mỗi đỉnh được đánh dấu 0 đều được ngăn cách bởi ít nhất một đỉnh 1. Vì vậy, số đỉnh được đánh dấu 0 phải ít hơn 1022 (nếu không, sẽ không đủ chỗ cho các 1). Tương tự, nếu không có 2 đỉnh liên tiếp đánh dấu là 1, số đỉnh đánh dấu 1 cũng phải ít hơn 1022. Nhưng điều này không thể xảy ra vì tổng số đỉnh là 2023, như vậy sẽ luôn có 2 đỉnh liên tiếp đánh dấu giống nhau.
Bây giờ, chúng ta chọn một cặp đỉnh liên tiếp đánh dấu giống nhau, giả sử là 1. Đặt chúng là A và B, và đặt S là tâm của đa giác đều. Khi đó, SA = SB. Ta đánh dấu điểm C trên đường tròn ngoại tiếp sao cho tổng số đỉnh giữa A và C (không kể A) cùng tổng số đỉnh giữa B và C (không kể B) là 1010. Khi đó, đa giác sẽ được chia thành hai phần có số đỉnh như nhau: một phần từ A qua C đến B và một phần từ B qua C đến A.
Do đó, SC = SA = SB và tam giác ASCB là cân. Vì có ít nhất 2 đỉnh liên tiếp đánh dấu 1, cái còn lại của các đỉnh trên đa giác (ở ít nhất một trong hai phần) phải có ít nhất một đỉnh đánh dấu 1. Nếu C được đánh dấu 1, ta đã có tam giác cân với ba đỉnh được đánh dấu 1. Nếu C được đánh dấu 0, ta cũng có tam giác cân với ba đỉnh được đánh dấu 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, do đó luôn có thể chọn ra 3 đỉnh của đa giác được đánh dấu giống nhau và tạo thành một tam giác cân.