Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 huyện Thanh Trì, thành phố Hà Nội, năm học 2022-2023. Thời gian làm bài 150 phút.
Ngày thi 15 tháng 11 năm 2022. Hình thức thi tự luận gồm 5 bài.
Đáp án Đề thi HSG Toán 9 huyện Thanh Trì, Hà Nội năm học 2022-2023
Bài 2.2
Chọn mẫu chung theo \(\operatorname{BCNN}(4,9,36)=36\) (không phải UCLN). Khi quy đồng, hai phân thức có mẫu 4 và 9 lần lượt được nhân cả tử và mẫu với 9 và 4; phân thức có mẫu 36 giữ nguyên.
Sau khi quy đồng và áp dụng bất đẳng thức theo hướng dẫn chấm, suy ra
\[P\ge\dfrac{(2+3+1)^2}{18+12+6+36(a+b+c)}\ge\dfrac{1}{2}.\]
Vậy \(P\ge\dfrac{1}{2}\).
Bài 3.1 – Phương trình nghiệm nguyên
Đưa về dạng tổng bình phương:
\[(a-b)^2+(2a-1)^2+(b-1)^2\le2.\]
Suy ra \((2a-1)^2\le2\). Vì \(2a-1\) là số lẻ nên \((2a-1)^2=1\), từ đó \(a=1\) (theo điều kiện của bài).
Thay \(a=1\), ta được \(2(b-1)^2\le1\). Vế trái là số chẵn không âm, nên \(b-1=0\), hay \(b=1\). Kết luận: \(a=b=1\).
