Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1
Cách làm: Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c
Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) $ 3x^{2}+8x-11=0$
b) $ 2x^{2}+5x+3=0$
Giải: a) Ta có: $ a+b+c=3+8+(-11)=0$ nên phương trình có một nghiệm là $ x_{1}=1$, nghiệm còn lại là $ x_{2}=-\dfrac{c}{a}=\dfrac{{11}}{3}$
b) Ta có: $ a-b+c=2-5+3=0$ nên phương trình có một nghiệm là $ x_{1}=-1$, nghiệm còn lại là $ x_{2}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{2}$.
Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:
Ví dụ 2: a) Phương trình $ x^{2}-2px+5=0$ có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình.
b) Phương trình $ x^{2}+5x+q=0$ có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình
c) Phương trình $ x^{2}-7x+q=0$ biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình
d) Phương trình $ x^{2}-qx+50=0$ có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó.
Giải:
a) Thay $ x_{1}=2$ vào phương trình ta được $ 4-4p+5=0$
$ \Rightarrow 9-4p=0\Rightarrow p=\dfrac{9}{4}$
Phương trình đã cho trở thành $ x^{2}-\dfrac{9}{2}x+5=0$
Từ $ x_{1}x_{2}=5\Rightarrow x_{2}=\dfrac{5}{{x_{1}}}=\dfrac{5}{2}$ ( hoặc $ x_{1}+x_{2}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow x_{2}=\dfrac{9}{2}-x_{1}=\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2}$)
Câu b tương tự
Giả sử hai nghiệm của phương trình là $ x_{1},x_{2}$ có vai trò như nhau
c) Theo đề bài ta có $ x_{1}-x_{2}=11$. Theo định lí Vi-et ta có $ x_{1}+x_{2}=7$
Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}x_{1}-x_{2}=11\\x_{1}+x_{2}=7\end{array} \right.$ ta được $ x_{1}=9,x_{2}=-2$
q = $ x_{1}x_{2}=9(-2)=-18$
d) Ta có $ x_{1}=2x_{2}$. Theo định lí Vi-et ta có $ x_{1}x_{2}=50\Rightarrow 2x_{2}^{2}=50\Leftrightarrow x_{2}^{2}=25\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x_{2}=5\\x_{2}=-5\end{array} \right.$
Với $ x_{2}=5$ thì , $ q=x_{1}+x_{2}$= 10 + 5 = 15
Với $ x_{2}=5$ thì $ x_{1}=-10$, $ q=x_{1}+x_{2}$= (- 10) + (- 5) = – 15.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình:
a) $ 5x^{2}+24x+19=0$
b) $ x^{2}-(m+5)x+m+4=0$
Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình
a) $ \displaystyle x^{2}+mx-35=0$ biết một nghiệm bằng – 5
b) $ \displaystyle 2x^{2}-(m+4)x+m=0$ biết một nghiệm bằng – 3
c) $ \displaystyle mx^{2}-2(m-2)x+m-3=0$ biết một nghiệm bằng 3