Dạng bài: Lập phương trình bậc hai

Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm

Ví dụ 1: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2

Giải:    Theo Định lí Vi-et ta có $ \left\{ \begin{array}{l}S=x_{1}+x_{2}=3+2=5\\P=x_{1}x_{2}=3.2=6\end{array} \right.$

Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình: $ x^{2}-Sx+P=0$hay $ x^{2}-5x+6$=0.

Ví dụ 2: Cho x₁ =  $ \dfrac{{\sqrt{3}+1}}{2}$        ;       x₂ =  $ \dfrac{1}{{1+\sqrt{3}}}$.   Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x₁; x₂

Giải: Ta có     x₁ =  $ \dfrac{{\sqrt{3}+1}}{2}$    ;   x₂ =  $ \dfrac{1}{{1+\sqrt{3}}}$ =   $ \dfrac{{1-\sqrt{3}}}{{\left( {1+\sqrt{3}} \right)\left( {1-\sqrt{3}} \right)}}=\dfrac{{\sqrt{3}-1}}{2}$

Nên x₁.x₂ = $ \dfrac{{\sqrt{3}+1}}{2}$. $ \dfrac{1}{{1+\sqrt{3}}}$ =  $ \dfrac{1}{2}$;              x₁ + x₂ =$ \dfrac{{\sqrt{3}+1}}{2}$ + $ \dfrac{1}{{1+\sqrt{3}}}$ =  $ \sqrt{3}$

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁; x₂      là x²  – $ \sqrt{3}$x + $ \dfrac{1}{2}$ = 0.       Hay      2x² – 2$ \sqrt{3}$x + 1 = 0

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước

Ví dụ 1:  Cho phương trình $ x^{2}-3x+2=0$có hai nghiệm $ x_{1};x_{2}$.

Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $ yy_{1}=x_{2}+\dfrac{1}{{x_{1}}};y_{2}=x_{1}+\dfrac{1}{{x_{2}}}$

*Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải:

Cách 1: + Tính  trực tiếp $ y_{1};y_{2}$ bằng cách: Tìm nghiệm $ x_{1};x_{2}$của phương trình đã cho rồi thay vào biểu thức tính $ y_{1};y_{2}$

Phương trình $ x^{2}-3x+2=0$ có $ a+b+c=1+(-3)+2=0$ nên phương trình có hai nghiệm là $ x_{1}=1;x_{2}=2$

Ta có $ y_{1}=x_{2}+\dfrac{1}{{x_{1}}}=2+\dfrac{1}{1}=3;y_{2}=x_{1}+\dfrac{1}{{x_{2}}}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$

+ Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm $ y_{1};y_{2}$ (dạng 2.1): $ \displaystyle S=y_{1}+y_{2}=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$;   $ \displaystyle P=y_{1}y_{2}=3.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$

Phương trình cần lập có dạng: $ y^{2}-Sy+P=0$ hay $ y^{2}-\dfrac{9}{2}y+\dfrac{9}{2}=0$  ( hoặc $ 2y^{2}-9y+9=0$)

Cách 2: Không tính $ y_{1};y_{2}$ mà áp dụng Định lí Vi-et tính$ S=y_{1}+y_{2};P=y_{1}y_{2}$ sau đó lập phương trình bậc hai có các nghiệm là $ y_{1};y_{2}$

Theo Định lí Vi-et ta có: $ S=y_{1}+y_{2}=x_{2}+\dfrac{1}{{x_{1}}}+x_{1}+\dfrac{1}{{x_{2}}}=(x_{1}+x_{2})+\left( {\dfrac{1}{{x_{1}}}+\dfrac{1}{{x_{2}}}} \right)=(x_{1}+x_{2})+\dfrac{{x_{1}+x_{2}}}{{x_{1}x_{2}}}=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$        $ \displaystyle P=y_{1}.y_{2}=(x_{2}+\dfrac{1}{{x_{1}}}).(x_{1}+\dfrac{1}{{x_{2}}})=x_{1}x_{2}+1+1+\dfrac{1}{{x_{1}x_{2}}}=2+1+1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}$

Phương trình cần lập có dạng: $ y^{2}-Sy+P=0$ hay $ y^{2}-\dfrac{9}{2}y+\dfrac{9}{2}=0$ ( hoặc $ 2y^{2}-9y+9=0$)

Ví dụ 2: Cho phương trình $ 3x^{2}+5x-6=0$ có hai nghiệm $ x_{1};x_{2}$.

Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $ y_{1}=x_{1}+\dfrac{1}{{x_{2}}};y_{2}=x_{2}+\dfrac{1}{{x_{1}}}$

Nhận xét:

– Nếu làm theo Cách 1: Phương trình $ 3x^{2}+5x-6=0$ có $ \Delta =5^{2}-4.3.(-6)=97$ nên có hai nghiệm vô tỉ là:

$ x_{1}=\dfrac{{-5+\sqrt{{97}}}}{6};x_2=\dfrac{{-5-\sqrt{{97}}}}{6}$

Việc tính $ y_{1};y_{2}$, S, P cũng phức tạp và mất nhiều thời gian $ y_{1}=x_{1}+\dfrac{1}{{x_{2}}}=\dfrac{6}{{5+\sqrt{{97}}}};y_{2}=x_{2}+\dfrac{1}{{x_{1}}}=\dfrac{6}{{5-\sqrt{{97}}}}$

$ S=y_{1}+y_{2}=-\dfrac{5}{6};P=y_{1}y_{2}=-\dfrac{1}{2}$.

Phương trình cần lập: $ y^{2}-Sy+P=0$ hay $ y^{2}+\dfrac{5}{6}y-\dfrac{1}{2}=0$ ( hay $ 6y^{2}+5y-3=0$ )

– Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm $ x_{1};x_{2}$ là hữu tỉ do đó nên chọn Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:

Theo Định lí Vi-et, ta có:

$ S=y_{1}+y_{2}=x_{1}+\dfrac{1}{{x_{2}}}+x_{2}+\dfrac{1}{{x_{1}}}=(x_{1}+x_{2})+\left( {\dfrac{1}{{x_{1}}}+\dfrac{1}{{x_{2}}}} \right)=(x_{1}+x_{2})+\dfrac{{x_{1}+x_{2}}}{{x_{1}x_{2}}}=-\dfrac{5}{3}+\dfrac{{-\dfrac{5}{3}}}{{-2}}=-\dfrac{5}{6}$

$ P=y_{1}y_{2}=$$ (x_{1}+\dfrac{1}{{x_{2}}}).(x_{2}+\dfrac{1}{{x_{1}}})=x_{1}x_{2}+1+1+\dfrac{1}{{x_{1}x_{2}}}=-2+1+1+\dfrac{1}{{-2}}=-\dfrac{1}{2}$

Phương trình cần lập: $ y^{2}-Sy+P=0$ hay $ y^{2}+\dfrac{5}{6}y-\dfrac{1}{2}=0$ (hay$ 6y^{2}+5y-3=0$)

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: x2 + px + q = 0 sao cho hai nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn hệ: $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x_{1}-x_{2}=5} \\ {x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=35} \end{array}} \right.$

Giải: Điều kiện ( = p2 – 4q ( 0  (*) ta có:

x1 + x2 = -p;  x1.x2 = q. Từ điều kiện:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x_{1}-x_{2}=5} \\ {x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=35} \end{array}} \right.$ Û $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\left( {x_{1}-x_{2}} \right)}^{2}=25} \\ {\left( {x_{1}-x_{2}} \right)\left( {x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}} \right)=35} \end{array}} \right.$

Û $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\left( {x_{1}+x_{2}} \right)}^{2}-4x_{1}x_{2}=25} \\ {5\left( {{\left( {x_{1}+x_{2}} \right)}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}} \right)=35} \end{array}} \right.$Û $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { p^{2}-4q=25} \\ {p^{2}-q=7} \end{array}} \right.$

Giải hệ này tìm được: p = 1; q = – 6 và p = – 1; q = – 6

Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*)

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:

a) 8 và -3

b) 36 và – 104

c) $ 1+\sqrt{2}$ và $ 1-\sqrt{2}$ d) $ \sqrt{2}+\sqrt{3}$ và $ \dfrac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$

Bài 2: Cho phương trình $ x^{2}-5x-1=0$ có hai nghiệm $ x_{1};x_{2}$. Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $ y_{1}=x_{1}^{4};y_{2}=x_{2}^{4}$

Bài 3: Cho phương trình $ x^{2}-2x-8=0$ có hai nghiệm $ x_{1};x_{2}$. Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $ y_{1}=x_{1}-3;y_{2}=x_{2}-3$

Bài 4: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình $ x^{2}+mx-2$= 0

Bài 5: Cho phương trình $ x^{2}-2x-m^{2}=0$ có hai nghiệm $ x_{1};x_{2}$. Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $ y_{1}=2x_{1}-1;y_{2}=2x_{2}-1$

Bài 6: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm $ x_{1};x_{2}$thỏa mãn   $ \left\{ \begin{array}{l}x_{1}-x_{2}=2\\x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=26\end{array} \right.$

Hướng dẫn:

– Giải hệ phương trình tìm $ x_{1};x_{2}$

– Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm $ x_{1};x_{2}$tìm được.