Dạng bài: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1

Cách làm: Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $ 3x^{2}+8x-11=0$

b) $ 2x^{2}+5x+3=0$

Giải: a) Ta có: $ a+b+c=3+8+(-11)=0$ nên phương trình có một nghiệm là $ x_{1}=1$, nghiệm còn lại là $ x_{2}=-\dfrac{c}{a}=\dfrac{{11}}{3}$

b) Ta có: $ a-b+c=2-5+3=0$ nên phương trình có một nghiệm là $ x_{1}=-1$, nghiệm còn lại là $ x_{2}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{2}$.

Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:

Ví dụ 2:  a) Phương trình $ x^{2}-2px+5=0$ có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình.

b) Phương trình $ x^{2}+5x+q=0$ có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình

c) Phương trình $ x^{2}-7x+q=0$ biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

d) Phương trình $ x^{2}-qx+50=0$ có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó.
Giải:

a) Thay $ x_{1}=2$ vào phương trình ta được $ 4-4p+5=0$

$ \Rightarrow 9-4p=0\Rightarrow p=\dfrac{9}{4}$

Phương trình đã cho trở thành $ x^{2}-\dfrac{9}{2}x+5=0$

Từ $ x_{1}x_{2}=5\Rightarrow x_{2}=\dfrac{5}{{x_{1}}}=\dfrac{5}{2}$ ( hoặc $ x_{1}+x_{2}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow x_{2}=\dfrac{9}{2}-x_{1}=\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2}$)

Câu b tương tự

Giả sử hai  nghiệm của phương trình là $ x_{1},x_{2}$ có vai trò như nhau

c) Theo đề bài ta có $ x_{1}-x_{2}=11$. Theo định lí Vi-et ta có $ x_{1}+x_{2}=7$
Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}x_{1}-x_{2}=11\\x_{1}+x_{2}=7\end{array} \right.$ ta được $ x_{1}=9,x_{2}=-2$

q = $ x_{1}x_{2}=9(-2)=-18$

d) Ta có $ x_{1}=2x_{2}$. Theo định lí Vi-et ta có $ x_{1}x_{2}=50\Rightarrow 2x_{2}^{2}=50\Leftrightarrow x_{2}^{2}=25\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x_{2}=5\\x_{2}=-5\end{array} \right.$
Với $ x_{2}=5$ thì , $ q=x_{1}+x_{2}$= 10 + 5 = 15

Với $ x_{2}=5$ thì $ x_{1}=-10$, $ q=x_{1}+x_{2}$= (- 10) + (- 5) = – 15.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình:

a) $ 5x^{2}+24x+19=0$

b) $ x^{2}-(m+5)x+m+4=0$

Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình

a) $ \displaystyle x^{2}+mx-35=0$ biết một nghiệm bằng – 5

b) $ \displaystyle 2x^{2}-(m+4)x+m=0$ biết một nghiệm bằng – 3

c) $ \displaystyle mx^{2}-2(m-2)x+m-3=0$ biết một nghiệm bằng 3

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *