Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số, học sinh có thể dùng dấu hiệu chia hết, phân tích nhân tử, xét số dư hoặc khai thác cấu tạo số. Điều quan trọng là chọn đúng mô-đun và trình bày rõ vì sao mỗi bước suy ra được tính chia hết.
1. Các phương pháp thường dùng
- Dùng dấu hiệu chia hết: phù hợp khi biểu thức là một số cụ thể hoặc có thể xác định tổng chữ số, chữ số tận cùng.
- Phân tích thành tổng, hiệu hoặc tích: đưa biểu thức về dạng có nhân tử chia hết cho số cần chứng minh.
- Xét số dư: xét các khả năng của một số khi chia cho \(m\).
- Dùng chu kỳ lũy thừa/chữ số tận cùng: hữu ích khi có lũy thừa lớn.
- Kết hợp hai mô-đun nguyên tố cùng nhau: nếu \(m\mid A\), \(n\mid A\) và \(\gcd(m,n)=1\) thì \(mn\mid A\).
2. Bài tập ví dụ
Bài 1
Chứng minh tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Gọi ba số liên tiếp là \(a,a+1,a+2\). Khi đó
\(a+(a+1)+(a+2)=3a+3=3(a+1)\).
Vậy tổng luôn chia hết cho 3.
Bài 2
Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 không?
Gọi bốn số là \(a,a+1,a+2,a+3\). Tổng bằng
\(4a+6=4(a+1)+2\).
Do đó tổng luôn dư 2 khi chia cho 4, nên không chia hết cho 4.
Bài 3
Chứng minh \(495a+1035b\) chia hết cho 45 với mọi \(a,b\in\mathbb{N}\).
Ta phân tích
\(495=45\cdot11\), \(\;1035=45\cdot23\).
Vì vậy
\(495a+1035b=45(11a+23b)\),
nên \(45\mid(495a+1035b)\) với mọi \(a,b\in\mathbb{N}\).
Bài 4
Chứng minh tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Hai số chẵn liên tiếp có dạng \(2n\) và \(2n+2=2(n+1)\). Tích của chúng là
\(2n\cdot2(n+1)=4n(n+1)\).
Trong hai số liên tiếp \(n,n+1\) luôn có một số chẵn, nên \(2\mid n(n+1)\). Do đó \(8\mid4n(n+1)\).
Bài 5
a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Trong ba số liên tiếp luôn có đúng một số chia hết cho 3, nên tích của chúng chia hết cho 3.
b) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
Trong bốn số liên tiếp có hai số chẵn; trong đó có ít nhất một số chia hết cho 4 hoặc hai thừa số chẵn cung cấp ít nhất hai thừa số 2. Vì vậy tích chia hết cho 4.
3. Ghi nhớ
Tổng quát hơn, tích của \(n\) số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho \(n\). Khi giải ở THCS, không nhất thiết phải dùng kết quả tổng quát này nếu có thể chỉ ra trực tiếp thừa số cần thiết từ các số liên tiếp.
Xem thêm Chuyên đề Số học THCS để luyện tiếp bài toán chia hết, đồng dư, số chính phương và chữ số tận cùng.
Mở rộng: bốn hướng chứng minh chia hết
- Đặt nhân tử chung: đưa biểu thức về dạng \(m\cdot A\).
- Nhóm hạng tử: tạo ra các cụm đều chia hết cho \(m\).
- Dùng tính chất: nếu \(m\mid A\) và \(m\mid B\) thì \(m\mid(A\pm B)\).
- Xét số dư: dùng modulo khi lũy thừa hoặc chữ số làm biến đổi trực tiếp khó.
Ví dụ
Chứng minh \(n^3-n\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n\).
Ta có:
\(n^3-n=n(n-1)(n+1)\).
Đây là tích của ba số nguyên liên tiếp, nên có một số chia hết cho \(3\) và ít nhất một số chẵn. Vì vậy tích chia hết cho \(6\).
Mẹo
Với biểu thức lũy thừa, hãy tìm chu kỳ số dư; với biểu thức đa thức, hãy thử phân tích nhân tử trước.