Dạng bài tập chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến X thuộc chương trình Đại số 8 – Toán lớp 8.
Để chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào $x$ ta rút gọn biểu thức bằng các phép biến đổi nhân đơn thức với đơn thức, đa thức với đa thức, áp dụng hằng đẳng thức. Cuối cùng biểu thức được thu gọn ra kết quả không chứa biến $x$, ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào $x$:
a) $ \displaystyle {A=x\cdot (2x+1)-{{x}^{2}}\cdot (x+2)+\left( {{{x}^{3}}-x+5} \right)}$
b) $ \displaystyle {B=x\cdot \left( {3{{x}^{2}}-x+5} \right)-\left( {2{{x}^{3}}+3x-16} \right)-x\cdot \left( {{{x}^{2}}-x+2} \right)}$
Giải
a) Biến đổi biểu thức $A$, ta có:
$ \displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {A=x\cdot (2x+1)-{{x}^{2}}\cdot (x+2)+\left( {{{x}^{3}}-x+5} \right)} \\ {A=2{{x}^{2}}+x-{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+{{x}^{3}}-x+5} \\ {A=6} \end{array}$
Suy ra giá trị của $A$ không phụ thuộc vào $x$.
b) Biến đổi biểu thức $B$, ta có:
$ \displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {B=x\cdot \left( {3{{x}^{2}}-x+5} \right)-\left( {2{{x}^{3}}+3x-16} \right)-x\cdot \left( {{{x}^{2}}-x+2} \right)} \\ {B=3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+5x-2{{x}^{3}}-3x+16-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x} \\ {B=3{{x}^{3}}-3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+5x-5x+16} \\ {B=16} \end{array}$
Suy ra giá trị của $B$ không phụ thuộc vào $x$.