BÀI TẬP NÂNG CAO LỚP 8 LIÊN QUAN TỚI PHÂN THỨC
Bài 1: Tính các tổng sau
a. $ \displaystyle A=\frac{x^{4}-(x-1)^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}-x^{2}}+\frac{x^{2}-\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{2}(x+1)^{2}-1}+\frac{x^{2}(x-1)^{2}-1}{x^{4}-(x+1)^{2}}$
b. $ \displaystyle B=\frac{x}{x y+x+1}+\frac{y}{y z+y+1}+\frac{z}{x z+z+1}$ vói $x y z=1$
Bài 2: Cho $ \displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
Chứng minh rằng: $ \displaystyle\frac{1}{a^{1995}}+\frac{1}{b^{1993}}+\frac{1}{c^{1995}}=\frac{1}{a^{1995}+b^{1995}+c^{1995}}$
Bài 3: Cho phân thức: $ \displaystyle A=\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{2 x y}+\frac{y^{2}+z^{2}-z^{2}}{2 y z}+\frac{z^{2}+x^{2}-y^{2}}{2 x z}(\mathrm{xyz} \neq 0)$
a. Chứng minh rằng nếu $ \displaystyle\mathrm{A}=1$ thì trong ba số $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ có một số bằng tổng hai số kia và trong phân thức A có một phân thức bằng – 1 còn hai phân thức còn lại bằng 1 .
b. Nếu $ \displaystyle\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ là độ dài các đoạn thẳng và $\mathrm{A}>1$. Chứng minh $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ là độ dài các cạnh của một tam giác.
Bài 4: Chứng minh rằng nếu a, b, c khác nhau đôi một thì:
a. $ \displaystyle\frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c-a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a-b}{(c-a)(c-b)}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}$
b. $ \displaystyle\frac{a}{(b-c)^{2}}+\frac{b}{(c-a)^{2}}+\frac{c}{(a-b)^{2}}=0$ nếu $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$
Bài 5: Chứng minh rằng nếu:
$ \displaystyle\mathrm{X}=\mathrm{by}+\mathrm{cz}, \mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{cz}, \mathrm{z}=\mathrm{ax}+\mathrm{by}$ và $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z} \neq 0$
Thì $ \displaystyle\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$
Bài 6: Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác không chứng minh rằng
Nếu: $ \displaystyle\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$ và $ \displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ thì $ \displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$