Bài tập quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu

LÝ THUYẾT

– Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

– Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;

+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

BÀI TẬP

ĐƯỜNG XIÊN VÀ ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ $ AH\bot BC$ tại H.

1. Chứng minh AC > AH.

2. Chứng minh AB >AH.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A.

1. Chứng minh AB < BC.

2. Chứng minh AC < BC.

Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC là cạnh lớn nhất.

Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ $ AH\bot BC$ tại H.

1. Chứng minh: AH < AB và AH BD.

2. Chứng minh AC > CE.

3. Chứng minh AB +AC > BD +CE.

Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ $ BD\bot AC$ tại D, $ CE\bot AB$ tại E.

1. Chứng minh: BC > BD

2. Chứng minh BC > CE

3. Chứng minh $ BC>\dfrac{{BD+CE}}{2}$

Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ $ BD\bot AC$ tại D, $ CE\bot AB$ tại E.

1. Chứng minh: AB +AC > BD +CE

2. Chứng minh $ BC>\dfrac{{BD+CE}}{2}$

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao.

1. Chứng minh AC >AH và AC < BC.

2. Chứng minh AH < BC.

Bài 9: Cho tam giác ABC, D nằm giữa A và C ( BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân đường vuông góc hạ từ A và C đến đường thẳng BD.

1. Chứng minh AE < AD.

2. Chứng minh AE +CF < AC.

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A có đường phân giác BD. Kẻ $ DH\bot BC$ ở H.

1. So sánh tam giác ABD và tam giác HBD.

2. Chứng minh DA < DC.

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ AH  BC tại H. Trên BC lấy K sao cho BK =BA, trên AC lấy I sao cho AI =AH.

1. Chứng minh tam giác ABK cân.

2. Chứng minh $ \widehat{{BAH}}=\widehat{{ACB}}$.

3. Chứng minh $ \widehat{{HAK}}=\widehat{{KAI}}$

4. Chứng minh AC ⊥ KI

5. Chứng minh BC –AB > AC –AH

6. Chứng minh AH +BC > AB +AC.

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân đường vuông góc vẽ từ A và C đến đường thẳng BM.

1. Chứng minh ME =MF.

2. Chứng minh BE +BF =2MB.

3. Chứng minh AB < BM. 4. Chứng minh $ \dfrac{{BE+BF}}{2}>AB$

Bài 13: Cho tam giác DEF, I là trung điểm của EF. Từ D và F kẻ EH ⊥ DI tại H; FK ⊥ DI tại K.

1. Chứng minh IH =IK.

2. Chứng minh DE +DF > DH +DK

3. Chứng minh DH +DK =2DI.

4. Chứng minh DE +DF > 2DI.

Bài 14: Cho tam giác ABC cân ở A. Lấy D bất kỳ thuộc AB và E thuộc tia đối của tia CA sao cho CE =BD. Kẻ DH và EK cùng vuông góc đường thẳng BC ở H và K.

1. So sánh tam giác BHD và tam giác CKE.

2. Chứng minh BC =HK.

3. Chứng minh BC <DE.

Bài 15: Cho tam giác ABC nhọn có AB <AC và đường cao AE. Tia phân giác của góc B cắt AE ở H. Kẻ HF ⊥ AB ở F.

1. So sánh HF và HE.

2. Chứng minh HC >HF.

Bài 16: Cho $ \widehat{{xOy}}=60^{0}$ và tia phân giác Oz. Lấy M ∈ Ox và N ∈ Oy. Kẻ MH và NK ⊥ Oz ở H và K.

1. Chứng minh OM +ON = 2( MH +NK).

2. So sánh OM + ON với 2MN.

Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn có AB >AC. Kẻ đường cao BD và CE. Lấy F thuộc AB với AF =AC. Kẻ FI ⊥ AC ở I.

1. So sánh FI và CE.

2. Kẻ FH ⊥ BD ở H. Chứng minh FI =HD.

3. Chứng minh AB – AC > BD – CE

Bài 18: Cho tam giác ABC đều, trên BC lấy D, trên AC lấy E sao cho BD = CE. Kẻ Cx là tia phân giác của $ \widehat{C}$ và từ D, E kẻ DH ⊥ Cx tại H; EK ⊥ Cx tại K.

1. Chứng minh tam giác DHC; tam giác EKC là nửa tam giác đều.

2. Chứng minh CD = 2DH; CE =2EK

Chứng minh $ DE\ge \dfrac{{BC}}{2}$. Xác định vị trí của D, E để độ dài DE đạt giá trị nhỏ nhất.

ĐƯỜNG XIÊN – HÌNH CHIẾU

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ $ AH\bot BC$ tại H, biết rằng HC >HB. Chứng minh AC >AB.

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB > AC. Kẻ AH  BC tại H, trên AH lấy điểm D. Chứng minh BH > CH, BD > CD

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Kẻ AH  BC tại H, trên AH lấy điểm D.

1. Chứng minh BH < CH.

2. Chứng minh BD < CD.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD < AC.

1. Tìm hình chiếu của BC và BD lên đường thẳng AC.

2. So sánh BC và BD.

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB < AC. Kẻ AE  BC tại E, tia phân giác của $ \widehat{B}$ cắt AE tại H. Kẻ $ HF\bot AB$ ở F. Chứng minh HC > HF.

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, M nằm giữa H và B.

1. Chứng minh $ AH\bot BC$

2. Chứng minh AH < AC

3. Chứng minh AM < AB

4. Chứng minh AH < AM < AC.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở A. Lấy $ D\in AB$ và $ E\in AC\left( {D\ne A,B;\,E\ne A,C} \right)$

1. Tìm hình chiếu của DE, DC lên AC; của CD, CB lên AB.

2. So sánh DE và DC; DE và BC.

Bài 8: Cho tam giác ABC có điểm D trong tam giác và AD = AB. Tia BD cắt đoạn AC ở I. H là trung điểm của BD.

1. Chứng minh $ AH\bot BD$

2. So sánh AD với AI.

3. Chứng minh AB < AC.

Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn, góc B lớn hơn góc C, AH đường cao thuộc cạnh BC, M là điểm thuộc đoạn HB, N là điểm nằm trên tia đối của tia BC. Chứng minh:

1. HB < HC.

2. AM < AB < AN.

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm của BC.

1. Tính số đo $ \widehat{{AHB}}$.

2. Lấy điểm M trên đoạn thẳng HB và điểm N trên đoạn thẳng HC sao cho HM < HN. So sánh các đoạn AB, AM và AN.

Bài 11: Cho tam giác ABC nhọn có $ \widehat{B}<\widehat{C}$. H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng BC.

1. So sánh HB và HC.

2. Lấy điểm M trên tia đối của tia BC và điểm N trên đoạn thẳng HC. So sánh AM và AN.

Bài 12: Tam giác ABC vuông ở A có đường phân giác BD. Lấy điểm E trên tia đối của tia AC sao cho AE =AC.

1. Tam giác BCE là tam giác gì?

2. So sánh BE với BD.

3. So sánh DA với DC.

Bài 13: Tam giác ABC vuông ở A có đường phân giác BD. Kẻ $ DH\bot BC$ ở H.

1. So sánh DA với DH.

2. Chứng minh DA < DC.

3. Lấy điểm E trên tia đối của tia AC sao cho AE < AD. So sánh BE với BC.

Bài 14: Cho tam giác ABC nhọn có $ \widehat{B}>\widehat{C}$ và điểm H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng BC. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD =HA.

1. Tam giác BAD và tam giác CAD là tam giác gì?

2. So sánh BH với CH và DC với DB

Bài 15: Tam giác ABC cân ở A có H là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn HB và E trên đoạn HC sao cho BD < CE.

1. Chứng minh HD > HE

2. So sánh $ \widehat{{ADE}}$ với $ \widehat{{AED}}$.

Bài 16: Tam giác ABC vuông ở A. Lấy điểm D bất kì trên đoạn thẳng AC và điểm E trên tia đối của tia AC sao cho AE = AC.

1. So sánh AE với AD.

2. Chứng minh $ \widehat{{BDE}}>\widehat{{BED}}$.

Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn có điểm H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng BC và $ \widehat{B}>\widehat{C}$

1. Chứng minh HB < HC

2. Lấy điểm D bất kì trên tia đối của tia HA. So sánh $ \widehat{{DBC}}$ với $ \widehat{{DCB}}$

Bài 18: Cho tam giác ABC nhọn có $ \widehat{B}>\widehat{C}$. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của điểm A lên BC.

1. So sánh BH với HC.

2. Chứng minh điểm H nằm giữa hai điểm B và M.

Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn có $ \widehat{B}<\widehat{C}$. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của điểm A lên BC.

1. So sánh BH với HC.

2. Chứng minh điểm H nằm giữa hai điểm C và M.

*Download file word Bài tập quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.docx bằng cách click vào nút Tải về dưới đây.